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Radio de la Tierra
Resumen

Colegio Norte Comuna Región Colegio Sur Comuna Región Distancia Radio Error
            Separación km %
Liceo Dr. Juan Noe Crevani Arica 15 Colegio Mistral Las Cabras
6
1758
5784
9,2
Liceo Dr. Juan Noe Crevani Arica 15 Colegio Beato Damián de Molokai Los Angeles
8
2114
7046
-10,6
Liceo Dr. Juan Noe Crevani Arica 15 Colegio King's School San Bernardo
13
1684
5425
14,8
Colegio Integrado Eduardo Frei Arica 15 Colegio Inglés Isaac Newton San Bernardo
13
1683
6163
3,2
Colegio Integrado Eduardo Frei Arica 15 Escuela La Puntilla Pirque
13
1685
6821
-7,1
Liceo Polivalente Sagrado Corazón Alto Hospicio 1 Colegio El Roble Santo Domingo
5
1489
6401
-0,5
Liceo Los Cóndores Alto Hospicio 1 Escuela San Diego de Alcalá Tucapel
8
1889
5561
12,7
Escuela Chipana Iquique 1 Escuela José Manso de Velasco Los Ángeles
8
1915
6042
5,1
Liceo Polivalente Sagrado Corazón Alto Hospicio 1 Liceo Polivalente Mariano Latorre Curanilahue
8
1912
6416
-0,7
Escuela Chipana Iquique 1 Colegio Metodista Concepción Concepción
8
1852
6817
-7,0
Escuela Cariquima Colchane 1 Colegio Master College San Bernardo
13
1572
6212
2,5
Escuela Chipana Iquique 1 Colegio Centro Bíblico Melipilla
13
1493
6413
-0,7
Liceo Los Cóndores Alto Hospicio 1 Colegio San Sebastián Melipilla
13
1493
7048
-10,6
Escuela Cariquima Colchane 1 Colegio Cardenal Raul Silva Henriquez Río Bueno
14
2312
6204
2,6
Colegio San Nicolás Calama 2 Villa María College Machalí
6
1302
5477
14,0
Colegio San Patricio Antofagasta 2 Colegio Manuel Rodríguez Rancagua
6
1179
5659
11,2
Liceo Domingo Latrille Tocopilla 2 Liceo Agustín Ross Edwards Pichilemu
6
1328
6415
-0,7
Colegio San Nicolás Calama 2 Lucila Godoy Alcayaga Traiguen
9
1773
5858
8,0
Colegio San Esteban Antofagasta 2 Liceo Camilo Henríquez Temuco
9
1677
6188
2,9
Colegio San Patricio Antofagasta 2 Colegio Louis Pasteur Traiguen
9
1632
7121
-11,8
Colegio Sagrada Familia Tocopilla 2 Colegio Eleuterio Ramírez La Reina
13
1264
5670
11,0
Colegio San Esteban Antofagasta 2 Colegio Moderno Paine Paine
13
1129
6340
0,5
Colegio San Patricio Antofagasta 2 Colegio María Teresa Cancino Aguilar Recoleta
13
1094
6544
-2,7
Liceo Domingo Latrille Tocopilla 2 Colegio San Manuel Melipilla
13
1289
6649
-4,4
Colegio San Esteban Antofagasta 2 Instituto Aleman Carlos Anwandter Valdivia
14
1797
7357
-15,5
Escuela Técnico Profesional Copiapó 3 Panamerican College Viña del Mar
5
630
6325
0,7
Escuela Técnico Profesional Copiapó 3 Escuela El Yeco Algarrobo
5
662
6392
-0,3
Escuela Sara Cortés Cortés Diego de Almagro 3 Colegio Arrayanes San Fernando
6
912
5932
6,9
Colegio San Agustín Copiapó 3 Escuela República Argentina Curicó
7
847
6315
0,9
Liceo Sagrado Corazón Copiapó 3 Escuela República Argentina Curicó
7
849
6516
-2,3
Escuela Laura Robles Silva Copiapó 3 Colegio Metodista Concepción Concepción
8
1060
5918
7,1
Liceo Diego de Almeida Diego de Almagro 3 Colegio Metodista Concepción Concepción
8
1185
6763
-6,2
Liceo Diego de Almeida Diego de Almagro 3 Liceo Carmela Carvajal de Prat Osorno
10
1593
5967
6,3
Escuela Laura Robles Silva Copiapó 3 Colegio Católico Beato Federico Ozanam Puerto Montt
10
1568
6079
4,6
Liceo Jose Antonio Carvajal Copiapó 3 Colegio Cristobal Colón Melipilla
13
700
6289
1,3
Escuela Sara Cortés Cortés Diego de Almagro 3 Liceo Agrícola y Forestal People Help Panguipulli
14
1468
6015
5,6
Escuela Sara Cortés Cortés Diego de Almagro 3 Liceo Polivalente Los Avellanos Valdivia
14
1494
6451
-1,3
Liceo Sagrado Corazón Copiapó 3 Instituto Aleman Carlos Anwandter Valdivia
14
1384
6639
-4,2
Liceo Domingo Ortiz de Rozas Illapel 4 Escuela José Manso de Velasco Los Ángeles
8
650
6793
-6,6
Colegio María Educa La Serena 4 Colegio Concepción Chillán
8
742
6864
-7,8
Escuela Lucila Godoy Alcayaga Vicuña 4 Liceo Carmela Carvajal de Prat Osorno
10
1186
6483
-1,8
Colegio San Lucas La Serena 4 Colegio Cardenal Raul Silva Henriquez Río Bueno
14
1151
6205
2,6
Escuela Quebrada de Alvarado Olmué 5 Colegio Instituto San Pedro San Pedro de la Paz
8
421
5570
12,6
Colegio Robert and Rose Quillota 5 Colegio Salesiano Concepción Concepción
8
438
5594
12,2
Liceo de Olmué Olmué 5 Colegio Concepción Chiguayante
8
426
5964
6,4
Panamerican College Viña del Mar 5 Liceo San Pedro San Pedro de la Paz
8
423
6231
2,2
Colegio Divina Maestra Villa Alemana 5 Colegio Beato Damián de Molokai Los Angeles
8
494
6280
1,4
Colegio Villa Aconcagua Con Cón 5 Liceo Lucila Godoy Alcayaga Concepción
8
433
6296
1,2
Colegio Inglés Pasionista Limache 5 Colegio Inmaculada Concepción Concepción
8
425
6621
-3,9
Colegio Robert and Rose Quillota 5 Liceo San José U.R. Puerto Aysén
11
1393
5556
12,8
Colegio Ignacio Carrera Pinto Los Andes 5 Colegio Santa Teresa de los Andes Puerto Aysén
11
1396
6164
3,2
Colegio Villa Aconcagua Con Cón 5 Liceo Josefina Aguirre Montenegro Coyhaique
11
1405
6655
-4,5
Liceo de Olmué Olmué 5 Colegio Puerto Natales Puerto Natales
12
2084
6296
1,2
Liceo San Antonio Viña del Mar 5 Colegio Punta Arenas Punta Arenas
12
2240
6645
-4,3
Liceo San Antonio Viña del Mar 5 Liceo Juan Bautista Contardi Punta Arenas
12
2239
7409
-16,3
Colegio Salesiano Concepción Concepción 8 Liceo San José U.R. Puerto Aysén
11
955
6378
-0,1
Liceo Lucila Godoy Alcayaga Concepción 8 Liceo Josefina Aguirre Montenegro Coyhaique
11
972
6607
-3,7
Colegio Salesiano Concepción Concepción 8 Liceo Juan Bautista Contardi Punta Arenas
12
1816
5854
8,1
Colegio Santa Sabina Concepción 8 Colegio Punta Arenas Punta Arenas
12
1818
6330
0,6
Colegio Concepción Chiguayante 8 Colegio Puerto Natales Puerto Natales
12
1658
6739
-5,8
Pumahue Huechuraba Huechuraba 13 Liceo Polivalente Mariano Latorre Curanilahue
8
458
6513
-2,2
Colegio San Francisco Javier de Huechuraba Huechuraba 13 Escuela San Diego de Alcalá Tucapel
8
432
6838
-7,3
Colelgio Excelsior Santiago 13 George Chaytor English College Temuco
9
587
5886
7,6
Colegio María Teresa Cancino Aguilar Recoleta 13 Colegio Louis Pasteur Traiguen
9
538
6253
1,8
Centro Educacional Principado de Asturias Puente Alto 13 Escuela Fundación Paul Harris Osorno
10
873
5631
11,6
Colegio Francisco de Miranda Peñalolén 13 Liceo Carmela Carvajal de Prat Osorno
10
791
6198
2,7
Colegio Alcántara de la Cordillera La Florida 13 Colegio Cahuala Insular Castro
10
994
7280
-14,3
Centro Educacional Principado de Asturias Puente Alto 13 Colegio Santa Teresa de los Andes Puerto Aysén
11
1314
5693
10,6
Chilean Eagles College Nº3 La Cisterna 13 Liceo San José U.R. Puerto Aysén
11
1321
6631
-4,1
Colegio Sofía Infante Hurtado Maipú 13 Liceo Josefina Aguirre Montenegro Coyhaique
11
1339
6807
-6,9
Escuela José Martí El Bosque 13 Colegio Santa Teresa de los Andes Puerto Aysén
12
1318
5752
9,7
Jorge Huneeus Zegers La Pintana 13 Liceo Juan Bautista Contardi Punta Arenas
12
2178
6402
-0,5
Colegio María Auxiliadora Santiago 13 Liceo Polivalente Los Avellanos Valdivia
14
708
6034
5,3
Colegio Madrigal La Reina 13 Liceo Agrícola y Forestal People Help Panguipulli
14
685
6315
0,9
Colegio Adventista Santiago Poniente Lo Prado 13 Instituto Aleman Carlos Anwandter Valdivia
14
708
6357
0,2

 

Promedio 6311
Porcentaje de Error 0,920

En la figura el círculo representa la Tierra, con su radio R. Las líneas verticales son rayos solares y los puntos A y B son los lugares donde una pareja de equipos miden la longitud de una sombra. Nos interesa saber si podemos calcular el radio de la Tierra sabiendo sólo los ángulos a y b que forman los rayos solares con una estaca vertical en los puntos A y B. Suponemos que estos ángulos están expresados en radianes.

De la geometría de Euclides sabemos que un arco de círculo equivale al producto del radio por el ángulo que subtiende, como lo expresan las relaciones a la izquierda, abajo.

Dibujo1

 

Observando la figura, es claro que la distancia entre los puntos A y B se puede expresar como,

overline{AB}=\overline{VB} - \overline{VA} = R\beta - R\alpha = R(\beta -\alpha )

de donde podemos despejar R y obtener

 R=\frac{\overline{AB}}{\beta -\alpha}

Así de simple: el radio de la Tierra es la distancia entre los puntos de medición, dividido por la diferencia entre los ángulos correspondientes expresados en radianes.

Se recomienda ver el documento de apoyo referido a ángulos. En la sección Documentos y Actividades

El desafío es entonces medir el ángulo que hacen los rayos solares con la vertical en cada lugar y en un mismo instante. Para esto utilizamos una estaca de longitud conocida y posicionada en forma perfectamente vertical.

Dibujo4

Uno podría medir el ángulo con un instrumento adecuado (un goniómetro), pero basta con medir longitudes si uno acude a la función trigonométrica “tangente”, definida así:

tan \alpha =\frac{AS}{PA}

Esta útil función relaciona el ángulo con las longitudes de la estaca (PA) y de la sombra (AS). Basta entonces con medir dos longitudes (PA y AS), y luego acudir a una calculadora o una tabla de tangentes para obtener el ángulo. Mayor información sobre esta función trigonométrica se encuentra en el link
http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Analisis/Funcion_tangente/Funcion_tangente.htm
o en el tutorial correspondiente que se pondrá oportunamente en la página del proyecto.

Recomendamos ver una animación de la situación geométrica que se encuentra en el enlace http://www.k12science.org/noonday/sketch2.html.

Un video del astrónomo Carl Sagan explicando la medición de Eratóstenes se encuentra en http://www.youtube.com/watch?v=zp4ZgiuF4xM&feature=related