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    Un jugador de baloncesto, pequeño, de 1,40 m de estatura, se enfrenta en la zona de tiro a la canasta, ubicándose justo en la línea a una distancia de 4,6 metros la canasta y frente a él, a medio metro un jugador que mide 2 m de estatura, que lo marca e impide que se aproxime, como tan solo quedan dos segundos para que termine el partido, decide tirar al aro estirando sus manos con el balón hasta 1,60 m ,como muestra la figura, este jugador es muy buen alumno de física y sabe que la máxima velocidad inicial que puede desarrollar sobre la pelota es de 8 m/s y que existen dos posibles ángulos para arrojar la pelota ¿Cuáles son esos ángulos si la altura del aro esta exactamente 3.05m?, suponiendo que decide tirar con el mayor de los ángulos ¿Es posible que enceste y no sea interceptada la pelota por el otro oponente que no alcanza a saltar, confiado por su altura ya que sus brazos miden 40cm por sobre su cabeza?

JUGADOR_PEQUEO_DE_BALONCESTO

Calcule y explique fundamentando su respuesta

 

 

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SOLUCION:   Solucion preparada por el Profesor:     José Tomás Abarca Díaz

 

 De acuerdo a la figura, coordenamos en el sistema desde donde se lanza la pelota con velocidad inicial,  despresiendo la resistencia del aire.

 

Usando las ecuaciones de lanzamientos de proyectiles, tenemos que en el eje  X el movimiento es uniforme y su ecuacion de posición es:

 

                                                

                                           

 Para el eje  Y  el movimiento es uniforme variado, bajo la acción de la gravedad, su ecuación de posición es:

 

 

                                            

 

   Despejando el tiempo  desde la ecuación (*) y reemplazando en la ecuación (**) obtenemos la conocida ecuación paramétrica  es decir la ecuacion de trayectoria y=f(x) en funciñon de x

   

entonces el tiempo de (*)  es:

                                                        

 

reemplazamos en la ecuación (**)

                                              

 

Evaluamos la ecuacion paramétrica (***) reemplazando los valores de las coordenadas correspondientes al cesto en el tablero de basketball,     x= 4,6 m     e      y=h=1,5 m

 

            

   Para mayor simplicidad  escribiremos la ecuación sin unidades y usando la identidad trigonométrica 

                            

  tenemos una expresión o ecuación de segundo grado, cuya incognita es la  tangente del ángulo de lanzamiento:

 

 resolviendo la ecuación de segundo grado tenemos que los valores posibles de la tangente y por ende los ángulos son:

 

                                  

 luego analizando el angulo de intersección del jugador alto que está a 0,5 m del lanzador siendo de una altura que mide 2,4 m, como muestra la figura, se forma un triangulo cuyas medidas son:

 

 

                                                  

       entonces 

                                         

 

      Por lo tanto este ángulo del triángulo de intersección es menor al angulo del lanzado no pudiendo así sin saltar y con sólo estirar los brazos evitrar que la pelota enceste.

 

                                                          

           

  

 En esta oportunidad las respuestas fueron variadas, siendo la más acertada y completa, la desarrollada por el Profesor  Daniel Aqueveque Tejo del Colegio Ensenada de Maria Virgen de la ciudad de Santiago.

                                                 

 

                                                  

 

 

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Problema propuesto por el profesor : José Tomás Abarca Díaz