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Problema:

Con el fin de motivar a sus alumnos de Física, un profesor muestra en clase una experiencia de colisiones, pues ellos acaban de estudiar las colisiones lineales de cuerpos y las leyes de conservación de energía y momentum aplicadas a dichas colisiones. El profesor coloca un pequeño pero potente imán de neodimio sobre un riel, con su eje central de simetría a lo largo del riel, y lo fija a éste con cinta adhesiva. Luego coloca tras el imán, tres bolitas de acero, de igual masa y diámetro, como muestra la figura. Entonces arroja suavemente con velocidad constante una cuarta bolita igual a las anteriores desde el otro lado del riel de modo que colisione con el conjunto, impactando de frente al imán. Al chocar ésta con el imán, la última de las esferas sale disparada con gran velocidad, mucho mayor a la que traía la bolita incidente, lo que no concuerda con lo que habían estudiado los alumnos sobre colisiones elásticas e inelásticas.

¿Cómo explicar este fenómeno? ¿De dónde sale la energía para acelerar así a la última esfera? ¿Qué ocurre con la cantidad de movimiento del conjunto, que pareciera no conservarse? Observe el video que muestra el fenómeno, y luego envíe una explicación con fundamentos.

Colsin_de_esferas_con_un_imn

     



SOLUCIÓN

(preparada por el profesor Jorge Ossandón)

 

La bolita incidente ha sido arrojada inicialmente desde lejos con un momentum Po y con una energía cinética Ko, pero al disminuir la distancia y llegar a la inmediata proximidad del imán sufre una repentina y violenta aceleración, casi imperceptible a la vista, de modo que choca contra éste con un momentum  P >> Po y una energía K>>Ko. ¿A qué se debe esta repentina aceleración?

Ocurre que el campo magnético con que el cilindro atrae a la esfera es altamente inhomogeneo a lo largo del eje de simetría rotacional X del imán y crece rápidamente al disminuir la distancia x (medida entre el centro de la bolita y el centro del imán) debido al fuerte gradiente conque convergen las líneas del campo desde el exterior hacia el interior del pequeño cilindro. En efecto, el campo B en el eje X afuera del imán es inversamente proporcional al cubo de dicha distancia x, y el gradiente (dB/dx) es inversamente proporcional a x4. Simultáneamente, la esferita de acero se magnetiza por la acción de dicho campo magnético y adquiere un “momento magnético” M que aumenta con B. Así, la esferita será atraída hacia el imán con una fuerza similar a la que sufre un dipolo sumergido en un campo inhomogeneo, cuya intensidad equivale al producto M(dB/dx), ¡¡intensidad que crece aproximadamente en razón inversa a la séptima potencia de la distancia!! Esto explica por qué hay una zona muy cerca del imán en que se produce una aceleración tan violenta y casi imperceptible. ¡Nótese que en dicha zona de proximidad la fuerza atractiva crece más de cien veces cuando la distancia disminuye a la mitad!

 

En el instante de la colisión, tratándose de cuerpos sólidos no deformables, la energía y el momentum lineal del sistema de partículas inmediatamente antes e inmediatamente después del choque deben conservarse. La validez simultanea de estas dos leyes de conservación permite como única solución en este caso que la última esfera del otro lado del imán, por tratarse de bolitas de igual masa, reciba toda la energía K y el momentum P entregados por la bolita incidente, quedando esta última detenida junto al imán y las dos esferas restantes. Nótese que el imán, fijado al riel con cinta adhesiva, en conjunto con éste (y con los demás objetos sobre los cuales ambos están apoyados) constituye un solo cuerpo rígido de masa mucho mayor que la de la bolita incidente, de modo que al recibir el impacto adquiere una velocidad de retroceso completamente imperceptible, proporcional a la diminuta razón entre las masas. Menos perceptible aún es su energía de retroceso después del choque, ya que ésta es proporcional al cuadrado de dicha diminuta fracción. Ello explica por qué la energía y el momentum cedidos por la bolita incidente pasan íntegramente a la última esfera, quedando todo lo demás en reposo.

 

Falta finalmente describir el comportamiento de la última esfera (que podemos designar con el número 3) una vez que ella recibe la energía K y el momentum P de la bolita incidente. Al alejarse del imán, la esfera 3 sufre una desaceleración provocada por la atracción magnética en sentido contrario a su movimiento. Sin embargo, la fuerza de atracción aquí es mucho menor que la que actuó sobre la bolita incidente debido a que la esfera 3 se encuentra separada del imán por dos bolitas intermedias y por lo tanto inicia su despegue a mayor distancia del imán. Debido a esta mayor distancia inicial, la energía y el momentum requeridos por la esfera 3 para escapar del imán son menores en magnitud que la  energía y momentum ganados por la bolita incidente al aproximarse y ser atrapada por éste.  En consecuencia, la esfera 3 sale eyectada con mayores energía y momentum  que los valores Ko y Po que traía originalmente la bolita incidente. Nótese que si no existiesen las dos esferas intermedias, la situación sería perfectamente simétrica a ambos lados del imán y por lo tanto no habría ninguna diferencia entre las velocidades de acercamiento por un lado y de alejamiento por el otro. La mayor energía cinética de la esfera 3 en comparación con la inicial Ko ha sido proporcionada por el campo magnético. Debido a que el campo magnético es conservativo, esta mayor energía cinética es equivalente a la menor energía potencial con que ha quedado el sistema magnético formado por la bolita incidente pegada al imán por un lado más sus dos compañeras pegadas al otro lado en comparación con la energía potencial que tenía el sistema en su configuración original cuando las tres esferitas estaban colocadas a un mismo lado del imán. Dicho en otras palabras, la ganancia en energía cinética equivale a la pérdida de energía potencial que sufre una bolita cuando en lugar de estar en la posición 3 (alejada del imán) está en la posición 1 (pegada al imán). Por su parte, el mayor momentum lineal con que sale la esfera 3 es compensado por el imperceptible impulso de retroceso (o “retroimpulso”) que adquiere todo el conjunto masivo.

En esta oprtunidad, ha resultado ganador con la respuesta que más se  aproxima a la solución  el Profesor Leonardo Baez del liceo Luis Laborda Hijuelas V región, Cabe destacar que se recibieron respuestas de alumnos de liceos, institutos profesionales, estudiantes Universitarios profesores y desde diferentes paises, a todos se les felicita, e invita a seguir participando.

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Problema propuesto por el profesor : José Tomás Abarca Díaz