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Problema:

   "Un gran asteroide de origen desconocido entra al sistema solar en una trayectoria que puede ser peligrosa para la Tierra. Los astrónomos quieren medir su masa para lo cual envían un satélite artificial, el cual es colocado en órbita circular alrededor del asteroide. Varios de los telescopios más potentes observan la órbita del pequeño satélite alrededor del asteroide. Estas observaciones y las señales que envía el satélite a la Tierra permiten a los astrónomos determinar las propiedades de dicha órbita. Utilizando las leyes de Newton, explique cómo los astrónomos podrán establecer la masa del asteroide a partir de las propiedades de la órbita del satélite artificial."


asteroidedesconocido

Solución:

(Preparada por el Prof: José Tomás Abarca Díaz)

Como el satélite describe una órbita circular alrededor del asteroide, usando las leyes de Newton, podemos afirmar que la única fuerza externa que actúa sobre el satélite, cuyo movimiento orbital es un movimiento circular uniforme  alrededor del asteroide, es la fuerza de interacción gravitacional entre el asteroide y el satélite, de modo que sobre él existe una aceleración centrípeta.

Aplicando la segunda ley de Newton, en que la fuerza neta es el producto entre la masa del satélite por la aceleración, que en este caso es la centrípeta., podemos escribir la siguiente expresión

formula1

         En donde  G   representa la Constante de Gravitación Universal  Ma  corresponde a la masa del asteroide,   ms  la masa del satélite ,  el radio de la órbita , y  ac representa la aceleración centrípeta la cual la podemos expresar como el cuadrado de la velocidad partida por el radio.  resultando la igualdad 

formula2

Simplificando por la masa del satélite y el radio tenemos:

 formula3

reemplazando la velocidad al cuadrado por   formula4  y acomodando los términos adecuadamente, identificamos una expresión que conocemos como la tercera ley de Kepler

:formula5

 de aquí despejamos la masa del asteroide como 

     formula6

 Y podemos entonces observar que las dos variables que se deben medir por los astrónomos, son el radio de órbita del satélite y el periodo de rotación de este.

En esta oportunidad ha resultado ganador al Sr Alfredo Guevara estudiante secundario del Colegio San Pedro Nolasco de Concepción, agradecemos las otras respuestas, que en este caso todas eran correctas,  y se les invita a seguir participando.


Problema propuesto por el profesor : José Tomás Abarca Díaz