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Problema:

Recuerdo que cuando yo era joven estuvo muy de moda el baile del “ula-ula” (o “hula-hoop” en inglés). Se trataba de hacer girar un gran anillo de plástico alrededor de la cintura. El anillo tenía unos 80 centímetros de diámetro y pesaba unos 200 gramos. Mis amigos y yo no lo usábamos para bailar sino para algo más sorprendente: lo lanzábamos por el pavimento con un gran impulso lineal hacia delante pero con un fuerte impulso de rotación en sentido contrario al avance, de manera que el anillo se alejaba unos 12 o 15 metros y luego se devolvía rodando a las manos del lanzador. Ganaba la competencia quien lograba llegar más lejos y recuperar su ula-ula sin moverse del punto de lanzamiento. Es interesante hacer este experimento en el patio del colegio y plantear la inquietud a los jóvenes: ¿Cómo es posible que algo lanzado sobre un plano horizontal se detenga y se devuelva por si mismo al punto de partida? ¿Qué explicación basada en las leyes de la física daría usted a sus alumnos? ¿Cuáles condiciones iniciales habría que tener en consideración para el éxito del experimento? Discuta el tema desde un punto de vista dinámico.

lanzando_el_ula_ula

Solución
 
Consideremos el “ula-ula” como un cuerpo sólido en forma de anillo cuyo movimiento inicial se compone de una traslación del centro de masas a lo largo de una recta horizontal y una rotación en torno a un eje de rotación instantáneo que pasa por el centro de masas. El desplazamiento está contenido en el mismo plano vertical que contiene al anillo. El cuerpo interactúa con el medio circundante a través de dos fuerzas: el peso “W” y el roce con el pavimento “R”. Se trata aquí de un roce cinético, porque el anillo no rueda sobre el piso sino resbala debido al sentido del movimiento de rotación, que es contrario al avance. El roce con el aire no se considera por ser irrelevante. El peso actúa sobre el centro de masas (que en este caso coincide con el centro del anillo) y es contrarrestado por la reacción normal “N” del piso. Cualquiera inclinación inicial del anillo provocará un par de fuerzas entre W y N que lo alejará del plano vertical, lo sacará de la trayectoria recta y terminará por volcarlo. Suponiendo que se cumple la condición inicial (ideal) de perfecta verticalidad, el momentum lineal de traslación “P” (que es un vector) mantendrá su dirección a lo largo de la recta pero su magnitud irá disminuyendo por causa de la reacción del pavimento que se opone al avance del anillo. Asimismo, el momentum angular de rotación “L” (que también es un vector) se mantendrá estable en dirección horizontal, paralelo al eje de rotación instantáneo, apuntando, por convención, (“regla del tornillo”) hacia el lado derecho, pero su magnitud irá disminuyendo por causa del mismo roce.

Consecuente con lo anterior, a medida que el “ula-ula” se aleja del punto de lanzamiento, ambas componentes del movimiento, la traslación y la rotación, van perdiendo su energía debido al trabajo realizado por el sistema para vencer a las fuerzas del roce cinético. El anillo detiene su avance en un punto (que podemos denominar X) cuando la energía de traslación inicial ha sido enteramente gastada. En efecto, el roce R, actuando sobre el anillo como cuerpo libre, genera una aceleración negativa que termina por frenar completamente al impulso inicial. Dependiendo de las condiciones de partida, puede ocurrir que la energía de rotación no haya sido enteramente consumida al término del trayecto, y por lo tanto aún persista en el punto X un resto sustancial de momentum angular. La aceleración negativa provocada por el roce cinético se traducirá en un impulso de retroceso que impulsará el anillo de regreso en dirección al punto de partida. En esta fase de retorno, el anillo seguirá perdiendo energía de rotación, pero parte de ella se irá transformando en energía de traslación y el resto se disipará por causa del roce cinético. Cuando la velocidad V de retorno del centro de masa logre alcanzar una magnitud igual a la velocidad tangencial de rotación del anillo (en torno de su eje de simetría), se producirá un cambio relevante en el movimiento: el anillo dejará de resbalar y empezará a rodar sobre el piso. Hay una gran diferencia entre resbalar y rodar. En la rodadura, el roce cinético desaparece y por lo tanto también se anula la aceleración que éste provocaba. En lugar del roce cinético hay ahora solamente roce estático, el cual es indispensable para que el objeto pueda rodar. A diferencia del caso anterior, las fuerzas de roce estático no se deslizan ni se desplazan y por lo tanto no efectúan trabajo mecánico. En consecuencia, de aquí en adelante la energía de rotación y el momentum angular que aún le quedan al anillo se conservarán y el “ula-ula” avanzará rodando con velocidad constante de regreso a las manos de quien lo lanzó.

De lo anterior se desprende que para el éxito del experimento hay que tener presente lo siguiente: 1) lanzar el anillo en dirección horizontal sobre el piso pero rotando en un plano estrictamente vertical que contenga a dicha dirección; 2) imprimirle un fuerte impulso de rotación (o “momentum angular”) en sentido contrario al avance, de modo que la energía cinética de rotación inicial supere ampliamente a la energía cinética de traslación; 3) elegir un terreno plano horizontal suficientemente rugoso (como el patio de la escuela) para que las fuerzas de roce cinético logren frenar el avance y dar el impulso necesario para que el anillo regrese al punto de partida sin ser perturbado por otras fuerzas. Nótese que en un terreno muy liso el roce cinético puede ser incapaz de impulsar al anillo de vuelta al punto de partida.

Comentario
 
Una manera simple de observar el comportamiento aquí planteado consiste en usar una moneda antigua de 100 pesos, ponerla de canto sobre una mesa y presionarla con el dedo de manera que salga impulsada hacia delante pero con una fuerte rotación en contra. Es fácil comprobar que la moneda resbala unos centímetros, detiene su avance y luego intenta devolverse al punto de partida. Lo difícil en este caso es que se cumplan las condiciones iniciales descritas para que resulte el experimento. Lo mismo se puede hacer con una bolita de vidrio o con una pelota de ping-pong.
En esta oportunidad el Consejo de PROFISICA acordó premiar la respuesta enviada por VALENTINA ALEJANDRA VERA ROJAS, estudiante del Liceo Católico de Atacama, Copiapó, Chile, quien recibirá un texto de Física General a su elección donado por la editorial Pearson.


Ganador: Valentina Vera Rojas, estudiante, Liceo Católico de Atacama, Copiapó, Chile
 
Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Mayo 2010