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Problema:


Tomemos N monedas, todas iguales, de radio R, y sobre una mesa perfectamente horizontal las colocamos cuidadosamente unas sobre otras formando una torre. Si provocamos pequeños desplazamientos horizontales entre las monedas en una misma dirección, ¿cuál es la máxima distancia X de separación horizontal que se puede alcanzar teóricamente entre la primera y la última moneda sin que se desplome la torre, a medida que N aumenta?

monedas
Solución:
 
El problema de la torre de monedas, propuesto como ejercicio para las vacaciones, tiene una interesante solución conceptual que examinaremos a continuación. Consideremos para empezar lo que ocurre con 2 monedas idénticas, colocada una sobre la otra. Designemos por M1 a la moneda de arriba y M2 a la de abajo. Sea X el mayor desplazamiento horizontal entre las 2 monedas, medido desde el extremo derecho de M1 hasta el extremo derecho de M2, tal que la moneda M1 no se desplome. X queda determinado por la condición de que el centro de gravedad "CG1" de M1 no puede descansar más allá del borde de M2. O sea, en este caso X coincide simplemente con el radio R de la moneda. Veamos ahora lo que ocurre con 3 monedas idénticas. Para ello levantamos cuidadosamente nuestra minitorre formada por las 2 primeras monedas y colocamos por debajo de ellas una tercera moneda M3. Para que la minitorre de dos no se desplome, es necesario que su centro de gravedad "CG2" no quede situado más allá del borde de M3. Dado que CG2 se encuentra a (1+1/2)R desde el extremo derecho de M1, la máxima separación horizontal entre M1 y M3 será precisamente X3 = (1+1/2)R. (Nota: el subíndice de la X indica el número de monedas involucradas). Si insertamos a continuación una cuarta moneda M4 por debajo de las anteriores (y así, sucesivamente, una quinta, una sexta, etc.), la torre formada por las tres anteriores no se desplomará a menos que su centro de gravedad "CG3" quede ubicado más allá del borde de M4. Pero CG3 se encuentra a (1+1/2+1/3)R desde el extremo derecho de M1, de modo que la máxima separación horizontal entre M1 y M4 será precisamente (1+1/2+1/3)R. Similarmente, con 5 monedas tendremos X5 = (1+1/2+1/3+1/4)R. El procedimiento inductivo nos permite extrapolar al caso de 10 monedas, para el cual resulta X10 = (1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9)R, o sea, igual a 2,83 R. Dado que el radio de la moneda de cien pesos es 1,35 centímetros, nuestros amigos de PROFISICA habrán podido formar torres de 10 monedas con un desplazamiento horizontal entre la primera y la última moneda en ningún caso mayor que el límite teórico X10 = 2,83x1,35 = 3,82 cm. Para el caso de N monedas, la distancia que buscamos será el producto de R por la sumatoria de 1/n (con n=1,2,3,...,N-1). Cuando N tiende a infinito, la serie diverge, o sea, no tiene límite, de manera que se puede lograr una separación lateral entre la primera moneda de arriba y la última de abajo tan grande como se quiera sin que la torre se desplome (suponiendo, claro está, que el campo gravitatorio mantenga su uniformidad en tamañas dimensiones).  
 
Comentario:
 Agradecemos el interés mostrado por los socios de PROFISICA frente al problema de la torre de monedas. Sin embargo, las respuestas recibidas no fueron satisfactorias, por lo que lamentablemente el concurso de este mes ha concluido sin ganador.
 
Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Enero 2002