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Problema:

Sobre una rama a la orilla de una pequeña poza, Tarzán se deja caer desde una altura de 10 metros agarrado al extremo de una liana de 15 metros de largo para rescatar a Jane que está parada sobre una roca en medio de la poza, rodeada de cocodrilos. Justo al llegar al punto más bajo de su trayectoria, Tarzán toma a Jane por la cintura sin detenerse y continúa con el impulso hasta posarse ambos sobre una rama en la orilla opuesta. Si la masa de Tarzán es 80 kilos y la de Jane 50 kilos, ¿hasta qué altura máxima podrán llegar juntos al otro lado?

Solución:

Al dejarse caer Tarzán desde un altura de 10 metros, simplemente colgando de la liana sin darse un impulso inicial, su energía potencial MgH se va transformando en energía cinética ½Mv2, de modo que en el punto más bajo de la trayectoria, justo antes de agarrar a Jane, toda la energía potencial se ha transformado en cinética y la velocidad de Tarzán ha llegado a su máximo valor, que está dado por

v = {2gH}½ = 14 m/s


Dado que Jane está detenida, al tomarla Tarzán por la cintura, parte del impulso que lleva éste se traspasa a ella y desde ahí ambos seguirán unidos. El Principio de Conservación del Momentum exige que la cantidad de movimiento Mv que traía Tarzán antes de tomar a Jane sea igual a la suma de las cantidades de movimiento con que siguen ambos después de dicho encuentro, o sea:

M v = (M + m) V


en que m es la masa de Jane y V es la velocidad de ambos justo después del encuentro. Despejando V de esta ecuación, obtenemos:

V = Mv / (M + m) = 8,61 m/s


De allí hacia adelante, la energía cinética de ambos: ½(M + m) V2, se transformará nuevamente en potencial: (M + m)gh. Así, la máxima altura "hmax" que pueden alcanzar ambos en la orilla opuesta es aquella para la cual toda dicha energía cinética se transformará en potencial, o sea:

hmax = V2 / 2 g = 3,78 metros!


Comentario:
La mayor equivocación en que incurrieron numerosas respuestas fue la de suponer que la energía potencial inicial de Tarzán (MgH) es igual a la energía potencial final de Tarzán y Jane: (M + m)gh. Bajo esta hipótesis, al despejar h se obtiene el resultado erróneo: h = 6,15 metros. En este problema la energía mecánica inicial del sistema no se conserva debido a que el encuentro entre Tarzán y Jane no es "elástico" (como cuando chocan dos bolas de billar), sino todo lo contrario, es perfectamente "inelástico" ya que ambos objetos que estaban inicialmente despegados quedan unidos. La energía final es menor que la inicial, y la pérdida de energía se explica por el trabajo realizado en contra de las fuerzas de fricción necesarias para que esto ocurra.

Ganador: Ricardo Castro Quiroz, profesor, Colegio San Pedro Nolasco, Santiago

 
Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Abril 2004