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Problema:

Un tambor de 50 centímetros de diámetro está rotando alrededor de su eje de simetría cilíndrica con una velocidad angular uniforme “w”. De improviso un balín de fusil disparado desde afuera hacia el centro del tambor penetra por la pared lateral de éste sin variar su velocidad V (=300 metros por segundo) y sale por el lado opuesto como indica la figura. ¿Existe alguna posibilidad de que el balín al atravesar de lado a lado deje sobre el costado del tambor solamente un agujero? ¿En qué caso sería esto posible? ¿Qué valor (o valores) debiera tener la velocidad de rotación del tambor para que esto pudiese ocurrir? ¿Es factible esto en la práctica? Explique.

tambor_rotatorio

Solución:

El balín entra y sale por el mismo agujero si el tambor gira 180 grados (o π radianes) en un tiempo igual al que demora el proyectil en atravesar el diámetro “D” de 50 centímetros, o sea, si el tambor gira una vuelta completa cuando el balín avanza un metro. Dado que éste lleva una velocidad lineal de 300 metros por segundo, la velocidad angular “w” del tambor debe ser 300 vueltas por segundo, lo que puede expresarse así: w = 300 rev/s (“revoluciones por segundo”), o 300 c/s (“ciclos por segundo”). En términos de “radianes por segundo” la velocidad angular será: w = 600π (rad/s), ya que cada vuelta equivale a 2π radianes. El mismo resultado se obtiene si calculamos el lapso de tiempo entre la entrada y la salida del proyectil: t = D/v = 0,5/300 = 1,66 ms (“milisegundos”), y luego expresamos “w” como el cuociente entre el ángulo de giro y el tiempo utilizado, o sea, w = π/t = π v/D = 2πv (rad/s) = 600π (rad/s) = 300 (c/s). Conviene recordar que todo ángulo φ (plano) puede definirse como el cuociente entre el arco “s” y el radio “r” de la circunferencia que lo describe, o sea, φ = s/r. Dado que s y r tienen ambos dimensión de longitud, el ángulo es una propiedad geométrica adimensional. Al definir el ángulo en la forma indicada (como cuociente entre el arco y el radio), la unidad de ángulo (llamada “radián”) queda establecida automáticamente como aquél ángulo que abarca un arco igual al radio. Por su parte, el número π se define como el cuociente entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia plana. Por lo tanto, el cuociente entre el perímetro y el radio vale 2π, y en consecuencia una vuelta completa corresponde a un ángulo de 2π radianes. 2. Nótese que el problema planteado admite más soluciones, a saber, que el tambor girase en el tiempo t no sólo media vuelta, sino una vuelta y media, o dos vueltas y media, etc. O sea, además de la solución básica w = 300 c/s, teóricamente también sus múltiplos impares son soluciones. Sin embargo, éste valor de la velocidad angular, equivalente a 18000 revoluciones por minuto, es suficientemente elevado de modo que sus múltiplos impares son imposibles en la práctica. Podemos estimar el tamaño del agujero si suponemos que el balín tiene un largo de 10 milímetros. El tiempo mínimo que demora el balín en penetrar la delgada lámina es t’ = 0,01/300 = 0,033 milisegundos, lapso en el cual el tambor alcanza a rotar un ángulo de 0,06 radianes que genera un agujero de a lo menos 1,6 centímetros de longitud. 3. ¿Es posible hacer el experimento? Podemos formarnos una idea de la dificultad que ello significa si estimamos la magnitud de la fuerza centrífuga que debe soportar la estructura del tambor para evitar que la cubierta se desprenda por causa de su propia inercia al rotar con la velocidad indicada. Para ello calculamos la magnitud de la aceleración centrípeta de la trayectoria circular, la cual está dada por la fórmula:

Ac = rw2 = 0,25x(2π300)2 = 884.264,4 (m/s2)
Considerando que la aceleración de gravedad “g” es 9,8 (m/s2), esta aceleración centrípeta equivale aproximadamente a 90640 veces g. Supongamos que cada centímetro cuadrado de la delgada cubierta del tambor tiene una masa de sólo 0,5 gramos (semejante a una lámina de aluminio de 2 milímetros de espesor); ello significa que dicho trocito de material está sometido a una fuerza centrípeta Fc = mAc = 0,5 x10-3x 884264,4 = 442,1 (newtons), la cual, por el Principio de Acción y Reacción, da origen a una fuerza centrífuga de igual magnitud pero sentido contrario. ¡Esta fuerza equivale al peso de 45 kilos por cada centímetro cuadrado! ¡Es como la presión que ejerce sobre el piso una mujer de 45 kilos que carga todo su cuerpo sobre la punta del taco del zapato cuya sección es un centímetro cuadrado! La fuerza centrífuga es consecuencia de la inercia del material y empuja a cada trocito en dirección radial hacia fuera. Así, la cubierta de nuestro tambor tendría que ser capaz de resistir una presión interna similar a 45 atmósferas (o más, si la densidad del material es mayor) para evitar que el tambor se desintegrase.  
 
Comentario: En esta oportunidad recibimos numerosas respuestas, tanto de Chile como de Iberoamérica, casi todas ellas satisfactorias. La primera respuesta correcta fue enviada por el señor Rolando Bartolo Y., profesor del Colegio Italiano Santa Ana de Arica, Chile, a quién felicitamos cordialmente. En los próximos días le haremos llegar a través de su establecimiento educacional el premio otorgado por Editorial Pearson, consistente en un texto de Física General a elección. Especial mención por su calidad merecen las respuestas enviadas por Cristián Gonzalez, estudiante de la Pontificia Universidad Católica, Juan Fco. Aravena M., profesor del Liceo Alberto Hurtado y Nicolás Silva F., profesor del Colegio Latinoamericano de Integración. Agradecemos a todos los participantes y los invitamos a concursar nuevamente en el siguiente Problema del Mes.

Ganador: Rolando Bartolo Y., profesor, Colegio Italiano Santa Ana, Arica, Chile
 
Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Mayo 2007