Asociados

eligeeducar

Hosting proporcionado por
dk

 

Problema:

Haga el siguiente experimento y luego proponga una explicación razonable del fenómeno observado. Tome una tabla de aproximadamente un metro de largo (las dimensiones laterales no son relevantes) y una bolita (u otro objeto pequeño como una moneda, etc). Un extremo de la tabla se apoya sobre el piso (como indica la figura adjunta). En su posición inicial la tabla debe estar inclinada en un ángulo de unos 45 grados respecto al plano horizontal (¿por qué?). Con un par de clavitos o puntas convenientemente clavados en la madera forme en el extremo superior de la tabla un pequeño triángulo que sirva de plataforma para colocar la bolita (o la moneda) de manera que ésta no se deslice al inclinar la tabla pero pueda desprenderse libremente hacia arriba. Luego deje que la tabla inclinada se vuelque sobre el piso retirando el apoyo que la sujeta. Con sorpresa podrá comprobar usted a simple vista que la bolita llega al piso con un apreciable retraso respecto a la tabla. Este hecho, sin embargo, parece contradecir la ley descubierta por Galileo según la cual todos los objetos (en caída libre) caen con igual aceleración de gravedad. En nuestro caso, la tabla se vuelca con una aceleración mayor que la de la bolita. El experimento puede realizarse en la sala de clase. Debido a que la bolita cae casi siempre en un mismo punto sobre la cara de arriba de la tabla, ubicado un poco más abajo del extremo superior (toda vez que el ángulo inicial sea el mismo), se sugiere pegar con cinta autoadhesiva un vasito de plástico en dicho punto. Se verá que la bolita cae dentro del vaso, o sea, su retardo es tal que le permite superar las paredes del vaso. Conviene poner sobre el piso un cojín para amortiguar el golpe. Otra forma de apreciar el retardo es la siguiente: en vez de bolita puede usar una argolla insertada en un clavo sin cabeza (o “punta”) de unas 2 pulgadas de largo clavado en la cara de arriba de la tabla próximo al extremo superior. Al soltar la tabla se verá que la argolla cae más lento y se desprende del clavo. En fin, se sugiere probar diversas maneras de observar este fenómeno: la bolita, moneda o argolla, en caída libre, llevan una aceleración menor que la tabla al volcarse. ¿Cómo explicar este hecho? ¿Por qué el ángulo inicial es crucial para el éxito del experimento

tabla_y_bolita

Solución:
El hecho de que la bolita, moneda o argolla, caen con menor aceleración que la tabla cuando ésta se vuelca no contradice a Galileo porque mientras las primeras están sometidas al movimiento de “caída libre” ésta última no lo está. En efecto, la tabla tiene un extremo apoyado sobre el piso de modo que su caída no es “libre” sino se trata de un movimiento de rotación acelerado provocado por un torque (o “momento de fuerza”) en torno al eje fijo. Podemos calcular la aceleración con que cae el extremo superior de la tabla en su trayectoria circular. Para ello empleamos la ecuación: T = I? en que “T” = torque en torno al eje fijo, “I” = momento de inercia de la tabla en torno del mismo eje, y “?” = aceleración angular. La única fuerza que ejerce torque en torno de dicho eje es el peso Mg de la tabla aplicada en su centro de masas. El brazo es simplemente (L/2) sen?, siendo ? el ángulo de inclinación de la tabla con respecto a la línea vertical y L = largo de la tabla. Por lo tanto, el torque vale: T = Mg(L/2) sen? Por su parte, el momento de inercia de la tabla en torno del eje que pasa por uno de sus extremos está dado por: I = (1/3) ML2 Sustituyendo estas expresiones en la primera ecuación obtenemos una expresión para la aceleración angular como función del ángulo ?: ? = (3/2) (g/L) sen? Nótese que esta aceleración angular no es uniforme sino que aumenta a medida que crece ? entre 0 y 90 grados. A partir de ésta se obtiene la aceleración tangencial At con que cae el extremo superior de la tabla en su trayectoria circular: At = L? = (3/2) g sen? Para ángulos pequeños cercanos a la línea vertical, la aceleración tangencial es pequeña, pero a medida que la tabla se vuelca, crece el ángulo ? y la aceleración tangencial del extremo superior de la tabla se hace igual a “g” cuando el ángulo alcanza 42 grados y es 50 por ciento mayor que “g” cuando la tabla llega al piso.
 
Comentario:
El experimento no resulta si el ángulo inicial es cercano a la vertical. Allí la bolita no se despega de su apoyo y adquiere junto con éste un movimiento lateral impulsada por la tabla. Para que el experimento resulte bien es preciso iniciar la caída en un ángulo de inclinación tal que la componente vertical de la aceleración de la tabla sea superior a “g”. En efecto, al volcarse el extremo de la tabla su aceleración tangencial tiene una componente vertical que está dada por: (At)y = (At) sen? = (3/2) g sen2? Esta componente vertical de la aceleración con que se vuelca la tabla supera el valor “g” a partir del ángulo ? = 55 grados y alcanza el valor máximo (3/2)g cuando ? = 90 grados. Por eso, si iniciamos el experimento con esta inclinación, la bolita se despega inmediatamente de su apoyo porque éste acelera hacia abajo más rápido que aquella. Así, el ángulo inicial es crucial para el éxito del experimento. En esta oportunidad la mejor respuesta fue enviada por el Sr. CESAR NUÑEZ RAMIREZ, estudiante de la Facultad de Ciencias Básicas de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, quien recibirá como premio un texto de física a elección otorgado por Editorial Pearson. Agradecemos a todos los que participaron en este Problema del Mes y los animamos a seguir participando en los próximos problemas.

Ganador: Sr. CESAR NUÑEZ RAMIREZ, estudiante, Universidad Católica de Valparaíso
Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Marzo-Abril 2008