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Problema:

Si se deja caer al suelo desde una altura H una pelota inicialmente en reposo, ésta rebota hasta una cierta altura que es algo inferior a la original debido a la pérdida de energía en la colisión. Se dice que la pelota es perfectamente elástica si recupera toda su energía. En la práctica, sin embargo, los materiales no son perfectamente elásticos y una pelota jamás alcanzará al rebotar una altura superior a la inicial sino, por el contrario, una altura inferior. ¿Qué ocurre sin embargo si se deja caer dos pelotas juntas? 1.- Haga el siguiente experimento: tome en su mano una pelota de basketball y coloque sobre ella una pelota de tenis adherida levemente con un trocito de cinta adhesiva para que no se deslice, así como indica la figura. Déjelas caer al suelo y observe lo que ocurre con la pelota de tenis. ¿Hasta qué altura rebota ésta? ¿Es menor, igual o mayor que H? 2.- Considere que la masa de la pelota chica es m = 60 g y la de la pelota grande es M = 600 g. Calcule hasta qué altura H’ podría rebotar en teoría la pelota chica si la altura inicial es 1,5 m, suponiendo además que ambas son perfectamente elásticas.

Rebote_2_Pelotas

Solución:
 
1. Al hacer el experimento con suficiente cuidado, se observa que, al llegar ambas pelotas al suelo, la grande rebota mucho menos que lo habitual (normalmente si estuviese sola rebotaría alrededor de un 60 %, o sea, coeficiente de restitución ≈ 0,6), y la chica salta mucho más de lo habitual, superando con creces la altura inicial H, y chocando incluso contra el techo de la habitación.
 
2. Para explicar este fenómeno, y hacernos una idea de lo que ocurre con la pelota chica al rebotar sobre la grande, consideraremos el choque frontal de dos esferas rígidas, de masas M1 y M2, en condiciones ideales (perfecta elasticidad, ausencia de aire, gravedad uniforme, etc.) Este choque frontal entre ellas ocurre inmediatamente después que la pelota grande rebota contra el suelo. Como el suelo tiene masa muy superior a las pelotas, y no hay deformación inelástica, la pelota grande no pierde energía cinética pero invierte bruscamente su dirección en 180 grados, devolviéndose hacia arriba con la misma velocidad con que llegó abajo. Nótese que mientras caen, las esferas prácticamente no interactúan entre sí porque ambas llevan igual aceleración g. En consecuencia, la manera más simple de abordar el problema propuesto es aplicar las ecuaciones del choque frontal elástico al sistema formado por la pelota grande, que al rebotar en el suelo recibe un fuerte impulso de retorno hacia arriba, y la pelota chica, que va hacia abajo con la misma rapidez con que se devuelve la grande. Estas ecuaciones se derivan de manera rutinaria a partir de los teoremas de conservación de momentum lineal (ecuación 1) y de energía cinética (ecuacion 2) para el sistema formado por ambos cuerpos durante la colisión (ver, por ejemplo, el texto Física de R. Serway, capítulo 9). La Ley de Conservación del Momentum Lineal del sistema, válida en todo tipo de interacciones, da origen a una ecuación vectorial de tres dimensiones, pero por tratarse aquí de un choque frontal, el problema se reduce a sólo 1 dimensión. Así, la magnitud del Momentum total antes del choque (subíndice “i”) debe ser igual a la magnitud del Momentum total después del choque (subíndice “f”): M1V1i + M2V2i = M1V1f + M2V2f 1. Por su parte, la conservación de la energía cinética del sistema es válida sólo cuando el choque es pefectamente elástico. En tal caso, no hay disipación de energía y el coeficiente de restitución es 1. La ecuación correspondiente es: ½M1V1i2 + ½M2V2i22 = ½M1V1f2 + ½M2V2f2 2. Dado que conocemos la velocidad de ambas pelotas al momento de iniciar la interacción, que no es otra que la velocidad común con que ambas llegan al suelo (excepto por el signo), podemos despejar a partir de estas dos ecuaciones las dos incógnitas V1f y V2f y obtener así, después de un tratamiento algebraico de rutina, las siguientes ecuaciones del choque frontal elástico: V1f = [(M1 – M2) V1i + 2M2V2i] / (M1 + M2) 3. V2f = [2M2V1i + (M2 – M1) V2i] / (M1 + M2) 4. Nótese que estas expresiones constituyen “sumas algebraicas”, porque las velocidades son vectores; o sea, las variables deben ser consideradas con sus signos. Si bien las masas son siempre positivas, no ocurre lo mismo con las velocidades, que pueden tener dos sentidos. Por simplicidad, asignaremos el signo + al sentido de subida, y el signo – al sentido de bajada. Al caer de una altura H =1,5 m, la velocidad del conjunto al llegar al suelo es V = (2gH)½ = 5,42 m/s. Por lo tanto, las velocidades iniciales con que chocan las esferas serán: V1i = – V2i = 5,42 m/s. Por otra parte, las masas son: M1 = 0,6 kg y M2 = 0,06 kg. Al introducir los valores de M1, M2, V1i y V2i (con sus signos) en la fórmula 4, obtenemos la velocidad con que la pelota chica sale impulsada hacia arriba, a saber: V2f = 14,29 m/s, la cual le permitirá (idealmente) alcanzar una altura: H’ = V2f2 / 2g = 10,42 metros, casi 7 veces superior a la altura de la cual partió!

Ganador: Cristian Gonzalez Mora, estudiante, PUC.


Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Junio 2007