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Problema:

a) ¿Cambia o no cambia la frecuencia natural de un péndulo simple si éste es sometido a una aceleración constante hacia arriba o hacia abajo? b) En caso de cambiar, ¿cuál debiera ser la aceleración del péndulo para que su frecuencia aquí en la Tierra coincidiera con la que tendría naturalmente en la Luna? b) Suponga que un reloj de péndulo, funcionando con gran precisión, es colocado dentro de un cohete para ser enviado a una plataforma espacial. ¿Cómo se verá afectado el reloj mientras el cohete despega verticalmente con aceleración constante? Explique.

Solución:
 
a) Sabido es que la frecuencia “f” de un péndulo simple depende de la aceleración de gravedad “g” y de la longitud del péndulo “L” de acuerdo a la fórmula siguiente (válida para oscilaciones pequeñas):
f = (1/2π) (g/L)½
Ahora bien, cuando el péndulo es acelerado verticalmente hacia arriba con aceleración “a”, la tensión del hilo aumenta porque a la fuerza de gravedad P = mg que actúa sobre el péndulo se le suma la fuerza inercial F = ma provocada por la aceleración. Dado que las masas inercial y gravitacional son equivalentes (ley confirmada experimentalmente con gran precisión por Roland von Eötvös en 1891 y utilizada por Einstein como base de la Teoría General de la Relatividad), la masa “m” puede sacarse como factor común y la acción de ambas fuerzas queda expresada como “m(g + a)”. Así, para tomar en cuenta la aceleración vertical del péndulo basta con reemplazar en la fórmula anterior la constante “g” por la suma “g + a”, y la nueva frecuencia será:
f =(1/2π)((g+a)/L)½
La frecuencia aumenta si la aceleración es positiva (hacia arriba) y disminuye si es negativa (hacia abajo). En el caso de una caída libre, la frecuencia se anula y el péndulo deja de oscilar. b) En la Luna la aceleración de gravedad es seis veces menor que en la superficie de la Tierra, o sea, podemos contestar la pregunta buscando aquel valor de “a” que cumple la condición:
g + a = g/6
cuya solución es:
a = – (5/6) g
Así, el péndulo debería caer con esta aceleración para que su frecuencia en la Tierra fuera igual a la que tendría en la superficie de la Luna. c) Un reloj de péndulo colocado dentro de un cohete se verá afectado fuertemente mientras el cohete despega verticalmente. La frecuencia aumentará y los punteros del reloj avanzarán más rápido, por lo que marcarán un mayor tiempo total para el despegue que lo que marcaría un reloj idéntico que se queda en tierra. Este efecto no tiene nada que ver con la “dilatación” del tiempo de la Relatividad Especial. Aquí el cálculo es puramente clásico. Un segundo efecto hay que tener en cuenta, a saber, la disminución que sufre la aceleración de gravedad “g” a medida que el cohete se eleva en razón inversa al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Así, por ejemplo, a unos 600 kilómetros de altura – aproximadamente un diez por ciento del radio terrestre – la constante “g” habrá disminuido aproximadamente en un 20 por ciento de su valor original. Por lo tanto, la frecuencia aumentará al comienzo, cuando el impulso de retropropulsión es mayor y la altura todavía es pequeña, pero luego irá decreciendo a medida que los motores dejan de acelerar y que el cohete se aleja de la Tierra.  
 
Comentario: Felicitamos en esta oportunidad al señor NICOLAS SILVA FIGUEROA, profesor del Colegio Latinoamericano de Integración (Chile), quien nos envió oportunamente una magnífica respuesta. El Consejo de PROFISICA acordó otorgarle el premio de este mes correspondiente a un texto de Física General a elección donado por Editorial Pearson.

Ganador: Nicolás Silva Figueroa, profesor Colegio Latinoamericano de Integración

Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Agosto 2007