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" MINI-GOLF EN UN CARRUSEL "
- Mayo 2008 -
Propuesto por el Profesor Jorge Ossandón


Suponga que usted está tratando de jugar mini-golf sobre un carrusel (o plataforma giratoria horizontal) que gira lentamente con velocidad angular uniforme de 1,5 vueltas por minuto en torno al eje central. Sea A el punto sobre el cual usted está parado y B el punto donde está ubicado el hoyo, justo al centro del carrusel. Entre A y B hay una distancia de 5 metros. Se trata de golpear la bolita tal como lo haría en tierra firme de manera que ésta emboque en el hoyo B. Sin embargo usted aquí no podrá apuntar exactamente en la dirección radial AB porque la bolita se desviará. ¿En qué dirección debe golpear la bolita para que ésta llegue a B? ¿De qué parámetros depende su decisión? Calcule el ángulo “a” en que debe salir la bolita desde A para llegar a B sabiendo que el golpe le imprime una rapidez de 1 m/s. Calcule también el tiempo que ésta demorará en su recorrido. Para simplificar el problema considere a la bolita como si se tratase sólo de una partícula puntual que no rueda en contacto con la plataforma sino más bien se desliza sin roce sobre ella (como disco de hockey sobre pista de hielo).

carrusel

 

SOLUCION (Preparada por Prof. Jorge Ossandón) El movimiento de una bolita que rueda sobre una plataforma rotatoria horizontal es bastante complejo debido a la complicada interacción entre bolita y plataforma en el punto instantáneo de contacto. Su tratamiento riguroso es materia de Dinámica Avanzada. Sin embargo, si tal contacto se desvanece porque las fuerzas de roce (estático y cinético) son despreciables, entonces el problema se torna trivial. En efecto, la partícula en tal caso - una vez que se libera de su posición inicial que la mantiene fija sobre la plataforma - responderá simplemente a la Ley de Inercia con respecto al sistema de referencia de tierra (que para nuestro propósito puede considerarse “inercial”). Así, para que la partícula impulsada desde el punto inicial A llegue a B es preciso darle un impulso en un ángulo ? tal que la velocidad vectorial resultante (referida a tierra) apunte directamente desde A hacia B. El vector Vr (velocidad resultante) es la suma vectorial de la velocidad tangencial Vt que lleva la bolita en el instante inicial, más la velocidad V provocada por el golpe que le imprime el jugador de mini-golf: Vr = Vt + V Dicho en otras palabras, la velocidad de la partícula referida a tierra (Vr) será igual a la velocidad de la plataforma referida a tierra en la posición donde se encuentra la bolita (Vt) – llamada también “velocidad de arrastre” – más la velocidad de la partícula referida a la plataforma (V). Estos tres vectores forman un triángulo rectángulo ABC, con hipotenusa V y catetos Vr y Vt , tal como indica la siguiente figura:
 
carruselABC
La velocidad tangencial en A tiene una magnitud dada por el producto wR, siendo w la velocidad angular de rotación y R el radio del círculo. Por el enunciado del problema, sabemos que w vale:
w = 1,5 (rev/min) = 3?/60 radianes por segundo = 0,157 (s-1)
 
Por lo tanto resulta:
Vt = wR = 0,157 (s-1) x 5 (m) = 0,785 (m/s)
 
Por otra parte, la magnitud V también se conoce:
V = 1 (m/s).
 
En consecuencia, usando el teorema de Pitágoras obtenemos la magnitud de la velocidad resultante:
Vr = 0,619 (m/s).
 
Con este resultado calculamos el tiempo del recorrido, a saber:
t = R/Vr = 5/0,619 = 8,07 segundos.
 
Asimismo, el ángulo ? resulta ser aquel ángulo cuyo coseno es:
cos(?) = Vr /V = 0,619, o sea, ? = 51,75 grados.
 
En resumen, el golpe que le imprime a la bolita una rapidez de 1 m/s debe ir dirigido por el jugador en un ángulo de 51,75 grados respecto de la dirección AB hacia el lado contrario del movimiento de rotación del carrusel. Nótese que mientras la bolita avanza desde A hasta B el carrusel con el jugador rota un ángulo de 72,6 grados.
 
Comentario: Una experiencia muy ilustrativa que está relacionada con el fenómeno aquí descrito consiste en instalar un balancín sobre una plataforma giratoria y pedir a dos jóvenes voluntarios, sentados cada uno en un extremo del balancín, enviarse entre sí, mientras éste rota, una pelota de tenis o intentar embocarla dentro de un balde ubicado justo al centro del balancín. Quienes observan el experimento verán las dificultades que tienen los jóvenes para encontrar empíricamente el ángulo preciso y la velocidad inicial en que deben lanzar la pelota para que ésta llegue al destino buscado. En esta ocasión la respuesta correcta más oportuna fue enviada por el señor Carlos Contreras Janvier, profesor de la Sede Viña de la Universidad Técnica Federico Santa María, quien recibirá uno de los textos de Física General a su elección, donados por la editorial Pearson. Agradecemos a todos quienes participaron y los instamos a participar nuevamente en los próximos problemas.


Ganador: Sr. CARLOS CONTRERAS JANVIER, profesor Universidad Técnica Federico Santa María, Sede Viña

 

 

Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Mayo 2008