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Problema:

Un camión fuertemente cargado y un pequeño automóvil que trata de sobrepasarlo por la pista izquierda avanzan por una carretera de noche con igual velocidad de 108 kilómetros por hora, sin poder superarse. Repentinamente ambos conductores ven a un borracho durmiendo en medio de la calzada a 80 metros de distancia. El joven conductor del auto reacciona rápidamente y demora sólo un quinto de segundo en apretar los frenos, pero lo hace tan drásticamente que su vehículo se detiene luego de una prolongada patinada, dejando una larga huella negra sobre el pavimento. El conductor del camión, de mayor edad, demora un poco más en reaccionar, un cuarto de segundo, y aprieta los frenos justo lo necesario para frenar rápidamente sin patinar. ¿Se salva el borracho de ser atropellado? De no ser así, ¿cuál conductor va preso?.

(Nota: considere que el coeficiente de roce estático entre los neumáticos y el pavimento es 0,7 y el cinético es 0,6).

Solución

 

Hay dos métodos en la mecánica de Newton para resolver este problema: uno es apelando al teorema de la “Energía Cinética y el Trabajo” y el otro es apelando al teorema del “Impulso y la Cantidad de Movimiento”. Ambos métodos llegan, por supuesto, a idéntico resultado. El primer método indica que el móvil se detiene cuando toda su energía cinética K(= ½ Mv2) se ha transformado en el trabajo W (=Fd) realizado en contra de las fuerzas de roce. Aquí “d” es la distancia recorrida mientras frena y F (= µMg) es la magnitud de las fuerzas de roce, siendo µ el coeficiente de roce y g (= 9,8 m/s2) la aceleración de gravedad. Nótese que al igualar K con W, la masa M del móvil se simplifica y la distancia recorrida queda expresada de la siguiente manera:

d = v2/2µg


Si a ello le agregamos la distancia “vt” que el vehículo recorre antes de iniciar el frenaje (siendo “v” la velocidad (= 30 m/s) y “t” el tiempo de reacción), obtenemos la distancia total:

D(total) = v2/2µg + vt


Sabemos que el camión aprieta los frenos justo lo necesario para frenar lo más rápidamente posible sin patinar; por lo tanto, debemos usar el valor del coeficiente de roce estático (0,7). En efecto, el contacto entre el neumático y el pavimento es estático a lo largo de la trayectoria, reemplazándose cada punto de contacto de la rueda por el siguiente mientras ésta rueda sin resbalar. Así, la distancia total en que frena el camión resulta ser:

D(camión) = (65,6 + 7,5) m = 73,1 m.


En el caso del auto, dado el largo patinaje, debemos usar el valor del coeficiente de roce cinético (= 0,6) y la distancia total recorrida resulta ser:

D(auto) = (76,5 + 6) m = 82,5 m


¡Nótese que el camión alcanza a frenar pero el automóvil no! En consecuencia, el imprudente borracho no se salva de ser atropellado y es el automovilista quien va preso.

Comentario: Dejamos a los lectores la tarea de verificar estos resultados usando el “Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento”, aplicado a lo largo de una trayectoria rectilínea para una fuerza constante F que actúa durante un cierto tiempo t. En tal caso, el teorema indica que el cambio en la cantidad de movimiento M(vf - vi ) del móvil será igual al impulso (Ft) de la fuerza neta que actúa sobre él en dirección longitudinal a su movimiento.

Ganador: Leonardo Cabezas Villegas, del Colegio del Valle, Maipú

 

 

Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Agosto 2004