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Problema:

En el aeropuerto una escalera mecánica de 10 metros de largo une el piso de entrada con el piso de embarque, ubicado 7 metros más arriba. La escalera mecánica avanza a una velocidad de 0,6 metros por segundo. Un joven de 70 kilos sube trotando por la escala portando una mochila de 20 kilos y llega arriba en 12 segundos. Despreciando el roce de la maquinaria y de los rodamientos, calcule cuánto trabajo debió efectuar el motor y cuánto trabajo realizó el joven para llegar arriba.

Solución:

El trabajo mecánico se define como el producto vectorial de una fuerza por su desplazamiento. Esto significa que hay que considerar sólo aquella componente del desplazamiento que apunta en la misma dirección de la fuerza. En el caso de la escala mecánica, tanto el motor como el joven realizan un trabajo en contra de la gravedad, la cual apunta verticalmente hacia abajo. Dado que el objeto (joven + mochila) se desplaza con velocidad constante, la fuerza F que trabaja para subirlo es exactamente igual y contraria al peso del joven y su mochila, puesto que si así no fuese, restaría una fuerza neta sobre el objeto, que le causaría una aceleración. O sea, F es una fuerza vertical que apunta hacia arriba y su magnitud es precisamente (M+m)g, siendo M la masa del joven, m la de la mochila y g la aceleración de gravedad.

Si el joven se queda detenido en la escala y no avanza por su propia cuenta, en el intervalo de 12 segundos sólo alcanzaría a una altura parcial "h" de 5,04 metros sobre el piso, que resulta de multiplicar la velocidad de la escala por el tiempo de 12 segundos y por el factor de proporcionalidad entre la altura total y la distancia total H/L = 0,7 (coseno del ángulo superior). Para llegar arriba en dicho tiempo es necesario que el joven haga un esfuerzo adicional, igual al producto de F por la altura restante, o sea, por 1.96 metros. Así, el trabajo realizado por el motor equivale a W = Fh = (M+m)gh = 90x9,8x5,04 = 4445,28 [Nm] y el trabajo realizado por el joven equivale 90x9,8x1,96 = 1728,72 [Nm]. Nótese que el motor contribuyó con un 72 % y el joven con un 28 % al trabajo total. Como dato adicional puede señalarse que la potencia P = W/t desarrollada por el motor durante la ejecución de este trabajo fue 370,44 watts y la del joven 144,06 watts.


Ganador: Christian Contreras Figueroa, profesor, Colegio Alemán de Chillán.

Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Mayo 2005