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Problema:


a) Se propone hacer el siguiente experimento: cuelgue libremente una barra rígida desde un extremo A y golpéela lateralmente a distintas alturas con un martillo. (Lo mismo puede hacerse con una barra que yace horizontalmente sobre una superficie lisa). Verá que, si la golpea cerca del centro de masa C, el extremo A tenderá a moverse inicialmente en la misma dirección del golpe. Por el contrario, si la golpea cerca del otro extremo B, verá que el extremo A tenderá a moverse en dirección contraria al golpe. Haciendo varios ensayos busque el punto intermedio P de la barra tal que al golpearla en dicho punto el extremo A permanezca inicialmente en reposo.

b) A continuación considere el siguiente problema: Un leñador intenta clavar una estaca en el suelo para lo cual la golpea fuertemente con una vara. ¿Con qué punto a lo largo de la vara se logra el mayor impacto sobre la estaca? ¿Con el extremo B, o con el centro de masa C, o con un punto P localizado entre B y C? ¿Cuál es la ubicación precisa de P? ¿Tiene algo que ver este punto P de la parte b) con el de la parte a)? Explique en base a conceptos de la dinámica. NOTA: asuma que la vara es una barra rígida homogénea de masa M y largo L que gira en torno al punto A donde está el mango.

 

Solución:

a) Primero se comprueba fácilmente que hay un punto a lo largo de la barra entre B y C tal que, al golpear lateralmente en dicho punto, el extremo A permanece inicialmente en reposo. A este punto se le llama “Centro de Percusión”. Para calcular la ubicación precisa “x” de dicho punto observemos la figura 1.
centro_percusion

La barra AB, que cuelga libremente del extremo A, recibe un repentino golpe transversal (o sea, perpendicular a la barra) en el punto P. Un golpe equivale a la aplicación de una fuerza F durante un breve lapso dt. El producto Fdt constituye un “impulso” J que transfiere “momentum” a la barra según las leyes de Newton. El movimiento inmediatamente posterior al golpe consiste en la superposición de dos movimientos: una traslación paralela de la barra como si toda su masa estuviese centrada en el centro de masas, y una rotación instantánea de la barra en torno a un eje que pasa por el centro de masas. Este eje es perpendicular al plano del movimiento, que en este caso coincide con el plano de la figura. Debido al impulso J la barra entera, incluyendo todos sus puntos, adquiere un momentum lineal Mv = J hacia la derecha (en la misma dirección de la fuerza F), lo que constituye la traslación paralela. Al mismo instante, la fuerza F multiplicada por el brazo x provoca un “torque” en torno de C, que al ser aplicado en un lapso dt constituye un impulso angular Jx. Este impulso angular origina una rotación instantánea de la barra, en sentido contrario a los punteros de un reloj, movimiento que se superpone al de traslación. Así, el punto A tiende a moverse hacia delante por efecto de la traslación y hacia atrás por efecto de la rotación.
¿Cuál es la distancia x tal que la superposición de ambos efectos justo se cancela en A? Conforme al teorema newtoniano del Impulso y la cantidad de movimiento, el momentum angular Iw adquirido por la barra (dado que ésta se encuentra originalmente en reposo) equivale al impulso angular Jx. O sea, Iw = Jx, siendo I el momento de inercia de la barra (en torno de C) y w la velocidad de rotación instantánea (también en torno de C). El producto wh representa la velocidad tangencial del punto A hacia la izquierda, correspondiente al movimiento de rotación instantánea. La condición para encontrar x es que esta velocidad de retroceso wh tenga igual magnitud que la velocidad de traslación v = J/M. Vale decir, la ubicación x del centro de percusión debe cumplir la condición
wh = v

o sea,
J x h/I = J/M

de donde se desprende:
x = I/hM


El momento de inercia I de una barra rígida de largo L y masa M en torno del centro C según tablas de los textos de física general vale: I = (1/12)ML2 de manera que:
x = (1/12) L2 /h

Pero h = L/2, por lo que finalmente:
x = L/6


Así, el centro de percusión de la barra rígida está ubicado a la distancia L/6 del centro C, o sea, a distancia (2/3)L desde el extremo A.
Nótese que x es proporcional al valor recíproco de h, siendo M y L constantes, de modo que si disminuye h aumenta x. Esto significa que la ubicación del centro de percusión P depende de dónde se encuentre ubicado A.

b) Para responder la parte b) de este problema, consideremos la figura 2:
estaca_color

Suponiendo que el leñador hace rotar la vara tomándola desde el extremo A, entonces el punto de mayor impacto sobre la estaca será precisamente el centro de percusión P ubicado a (2/3)L desde A. La transferencia de momentum a la estaca será mayor si se la golpea con el punto P en vez de hacerlo con el extremo B o con el centro de masas C. En efecto, al golpear con el centro de percusión todo el impulso de la vara se transfiere a la estaca y no se pierde nada en mover los apoyos, dado que el punto A no genera ninguna reacción sobre el tercer objeto que es el hombre. Si el golpe ocurre en un punto distinto de P habrá fuertes reacciones en A y el leñador sentirá un “culatazo” que restará parte del impulso cedido por la vara.
Este fenómeno es muy conocido entre los deportistas que utilizan instrumentos para golpear una pelota, como es el caso del tenis, béisbol, golf, etc. Cada instrumento posee un centro de percusión cuya ubicación precisa depende del momento de inercia I y de dónde está ubicado el mango. El diseño de estos objetos (raquetas, bates, palos de golf, martillos de carpintería, etc.) y su manipulación posterior deben lograr que el centro de percusión coincida con la zona de impacto para obtener máxima eficiencia.

Comentario: El Consejo de PROFISICA felicita al ganador de este mes por su correcta respuesta, Sr. Ariel Pérez, estudiante, Andree English School, Santiago.


Ganador: Ariel Pérez, estudiante, Andree English School, Santiago, Chile.
Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Agosto 2009