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Problema:

Un libro se está resbalando hacia abajo con velocidad constante por una mesa inclinada. Usted lo detiene y luego lo lanza de vuelta hacia arriba con velocidad inicial vo = 3 m/s. Si el plano hace un ángulo de 30º con la horizontal.

a) ¿Hasta qué altura sube el libro antes de detenerse?
b) ¿Depende esta altura del ángulo de inclinación del plano?
c) Una vez que el bloque llega arriba ¿regresa nuevamente hacia abajo?

Solución:
a) Dado que el libro resbala hacia abajo sin acelerar, la segunda ley de Newton nos dice que la fuerza neta que actúa sobre él es nula. O sea, el peso Mg del libro está contrarrestado a lo largo del plano inclinado por la fuerza de roce Fr, y perpendicularmente a dicho plano por la reacción normal N de la superficie de la mesa. En consecuencia, la magnitud de la fuerza de roce equivale a la proyección del peso a lo largo del plano:

Fr = Mg sen(30°)


Esta fuerza de roce se opone siempre al movimiento y su magnitud no cambia ya sea que el libro resbale hacia abajo o que se deslice hacia arriba. Cuando el libro es impulsado de vuelta hacia arriba con velocidad inicial Vo , su avance se verá frenado tanto por dicho roce como por la componente longitudinal del peso, fuerzas que en este caso actúan ambas en contra del movimiento y se suman en lugar de restarse. Como ambas son constante (y de igual monto), el desplazamiento longitudinal máximo S está dado por la expresión correspondiente a un movimiento con aceleración (negativa) constante, a saber:

S = (Vo)2/ 2A


siendo A la magnitud de la desaceleración que resulta de dividir la fuerza total 2Fr por la masa M del libro. O sea:

A = 2Fr /M = 2g sen (30°)


Sustituyendo este valor de A en la expresión anterior resulta de inmediato:

S = (Vo)2/ 4g sen (30°)


Ahora bien, para obtener la altura H basta multiplicar S por sen (30°), de manera que obtenemos como resultado final:

H = (Vo)2/ 4 g


Introduciendo el valor numérico de la aceleración de gravedad (g = 9,8 m/s2) y de la velocidad inicial (Vo = 3 m/s) obtenemos que la altura H alcanza no más que 0,23 m (o sea, 23 centímetros!).

b) Nótese que en la fórmula para calcular H no aparece el coeficiente de roce, ni la masa del libro, ni la inclinación del plano. Dicho en otras palabras, si otro libro en otra mesa con otro roce también resbala hacia abajo con velocidad constante (cualquiera sea su magnitud) y se lo reenvía de vuelta con idéntica velocidad inicial Vo, alcanzará a subir la misma altura H en ambos casos, aunque las inclinaciones de las mesas y sus propiedades materiales pueden ser muy distintas. Lo único relevante para H es la velocidad inicial!

c) A llegar arriba, el libro no regresa nuevamente hacia abajo porque justo al detenerse en el punto más alto queda sometido a un roce estático que es siempre mayor al roce cinético. O sea, para que empiece a caer habría que inclinar la mesa un poco más de lo requerido cuando resbala con velocidad constante.
 
Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Septiembre 2003