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Problema:

Considere un tarro cilíndrico de paredes verticales, cuya altura total llamamos H (mayúscula), el cual se encuentra colocado sobre el suelo y lleno de agua hasta su borde superior. Sabido es que al abrir un pequeño agujero en la envoltura lateral a una cierta altura h (minúscula), saltará de inmediato un delgado chorro de agua. Se pide responder la siguiente pregunta: ¿a qué altura h debemos hacer el agujero para que el chorro alcance la mayor distancia horizontal x sobre el suelo? Se sugiere abordar primero cuestiones como las siguientes: ¿hasta dónde alcanza el chorro que sale por un agujero? ¿Qué factores influyen en dicho alcance? ¿Cómo depende x de h? ¿Cuál será el valor máximo de x? ¿Cuál será el valor óptimo de h? Intente corroborar sus conclusiones experimentando por ejemplo con una botella grande de plástico desechable a la cual se le hacen pequeñas perforaciones a diferentes alturas.

tarro_con_agua

 

En esta oportunidad publicaremos textualmente la contribución que hemos recibido de parte de nuestro colega Christian Contreras Figueroa, profesor del Instituto Preuniversitario Pedro de Valdivia, Sede Chillán, la cual responde correctamente las diversas interrogantes del problema de noviembre “Tarro con Agua” y por su calidad nos ahorra más comentarios. El Consejo de PROFISICA acordó premiar al profesor Christian Contreras Figueroa como ganador del concurso de este mes, por lo que recibirá un texto de Física General otorgado por Editorial Pearson (Chile).

Solución:

El alcance del chorro de agua que sale por el agujero puede ser considerado como un problema típico de cinemática bidimensional; lanzamiento horizontal de proyectiles.

Luego, el alcance horizontal del proyectil será dado por la distancia horizontal que recorre en una dimensión cuya fuerza neta es nula (despreciando todo roce) y por lo tanto su aceleración es 0 con rapidez inicial y constante dada por la rapidez de salida del agujero Vox, al mismo tiempo que baja una distancia h en una dimensión cuya aceleración equivale a la aceleración de gravedad g con velocidad inicial 0, o sea, caída libre.
Entonces, se tiene el siguiente análisis cinemático:


Sistema de referencia:
Origen: (0, 0) la base del recipiente bajo el agujero.
Orientación positiva: Horizontal, hacia el avance del chorro; Vertical, hacia arriba.
Posición inicial: (0, h)
Velocidad inicial: (Vox, 0)
Aceleración: (0, -g)


Ahora, aplicando la ecuación de trayectoria x = (½) a t2 + vox t + xo a los datos anteriormente definidos, se obtienen las siguientes relaciones en cada dimensión:

Horizontal:

x = ½ ax t2 + vox t + xo = Vox t

Vertical:

y = ½ ay t2 + voy t + yo = - (½) gt2 + h


Imponiendo la condición de que el tiempo de caída (llamémosle T) equivale al tiempo que demora en llegar al suelo, o sea, cuando y= 0, despejando la ecuación vertical se tiene:

y = - ½ g T2 + h = 0
T = √((2h)/g)


Tomamos como solución la raíz positiva, pues la variable tiempo no puede ser negativa.
Con este tiempo, que obviamente es función de h (mientras más alto, más tiempo demora en caer), reemplazamos en la ecuación horizontal para calcular su alcance X:

X = Vox T = Vox √((2h)/g)


Para determinar el valor de Vox es necesario analizar el problema dentro del fluido como un flujo que cae, es decir, un estudio de la Hidrodinámica. Por las condiciones del recipiente, es posible aplicar el teorema de Torricelli, pero es más completo analizarlo con el Principio de Bernoulli, del cual Torricelli es una aplicación específica.
El Principio de Bernoulli establece un equilibrio entre la rapidez de un flujo, la altura que tiene y su presión interna, a través de la siguiente relación:

( ½ ) Dv2 + Dgh + P = cte


Donde D es la densidad del flujo, v es su rapidez, g es la aceleración de gravedad, h es el nivel de altura con respecto a un sistema de referencia y P es la presión interna del fluido.
Tomemos como puntos de comparación A y B, con A el nivel más alto del flujo en el recipiente y B el agujero por donde sale el agua horizontalmente. Para A la rapidez del flujo es 0 (está en reposo), la altura es H y la presión es la atmosférica (ya que está en contacto con la atmósfera y no hay líquido sobre él). Para B la rapidez será el valor buscado Vox, la altura es h y la presión también corresponde a la atmosférica (por el contacto con ella).
Entonces, aplicamos Bernoulli en ambos puntos:

½ DvA2 + DghA + PA = ½ D vB2 + DghB + PB


DgH + PAtmosférica = ½ DVox 2 + Dgh + PAtmosférica


Restando P atmosférica…

DgH = ½ DVox2 + Dgh


Dividiendo por la densidad…

gH = ½ Vox2 + gh


De donde se puede despejar Vox…

Vox = √(2g (H – h))


Obviamente, la rapidez de salida depende de h; mientras más abajo sea hecho el agujero, más rápido saldrá el flujo pues tendrá mayor cantidad de fluido sobre él.
Ahora podemos incorporar esta expresión al alcance horizontal del flujo luego de salir del agujero:

X = Vox√((2h)/g)

X = √(2g(H – h))√((2h)/g)


Es decir, el alcance se ve favorecido por h en cuanto al tiempo de caída y desfavorecido en cuanto a la rapidez del flujo. Como ambos efectos tienen la misma dimensión (están dentro de una raíz cuadrada), entonces se contrarrestan en la misma proporción y la respuesta es evidente: ¡¡¡el valor de h minúscula que logra el mayor alcance equivale a la mitad de H mayúscula, o sea, la mitad de la altura del recipiente!!!
Veamos el análisis y la deducción algebraica de este resultado.

X = √(2g(H – h)) √((2h) g)
X = √(2g(H – h)2h/g)
X = √(4h(H – h))
X = √(4gH – 4h2 )


Como la función raíz cuadrada es creciente, entonces esta expresión tomará el máximo valor cuando la cantidad subradical sea máxima.
Este análisis se puede realizar con una derivada simple, pero como PROFISICA apunta más bien a temas de Enseñanza Media, es más conveniente analizarla desde el punto de vista de una parábola.
Luego, se quiere que la cantidad subradical 4 h H – 4 h 2 sea máxima. Esta expresión corresponde a una parábola donde h es la variable independiente. Como toda parábola, se analiza desde la forma ax 2 + bx + c; en este caso, – 4 h 2 + 4Hh + 0. Es decir, los coeficientes a,b,c, tienen los valores: a = - 4, b = 4H y c = 0.
Como a<0, la parábola es cóncava hacia abajo y alcanza su valor máximo cuando h coincide con la ubicación del eje de simetría dada por: x (eje) = -b/(2a), o sea en este caso puntual:

h = - b/(2a)


Reemplazando a y b obtenemos:

h = - 4H/(- 8)


O sea, el valor óptimo de h es:

h = H/2


Quedando demostrado en forma algebraica que al hacer el agujero a una altura dada por la mitad de la altura del estanque, la expresión 4hH – 4h2 alcanza un máximo valor, y luego √(4hH – 4h2) tendrá también el valor máximo posible para la situación planteada. O sea, el chorro de agua tendrá el máximo alcance si h = H/2; la mitad de la altura del estanque.
Para complementar el análisis, se puede calcular dicho alcance máximo.

X = √(4hH – 4h2)
X = √(4(H/2)H – 4(H/2) 2 )
X = √(2H2 – H2)
X = √(H)
X = H


¡¡El alcance máximo es igual a la altura del tarro!! Lo cual es un resultado, por decir lo menos, sorprendente.
Christian Abdiel Contreras Figueroa Preuniversitario Pedro de Valdivia Sede Chillán


Ganador: Christian Abdiel Contreras Figueroa, Preuniversitario Pedro de Valdivia

 

 

Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Noviembre 2006