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Problema:

Haga usted la siguiente observación: abra suavemente la llave del agua de un lavaplatos (fría o caliente) y manténgala levemente abierta de manera que no se formen turbulencias sino que el flujo sea laminar y estacionario. "Laminar" significa que las líneas de flujo no se cortan entre sí. Tampoco cambian de posición por ser régimen estacionario. Observe la forma de este chorro que cae de la boca del tubo y podrá apreciar a simple vista que se adelgaza hacia abajo y su diámetro "D" disminuye a medida que crece la separación "y". Usando la ley de continuidad de la masa y la ley de conservación de la energía, encuentre una relación entre "D" e "y". Si la boca del tubo tiene una sección circular de un centímetro cuadrado y por ella sale un caudal de 3 litros de agua por minuto, demuestre que el diámetro del chorro disminuye a la mitad al caer unos 20 centímetros.

Solución:

La ley de continuidad afirma que el caudal que pasa en cada segundo a través de una sección cualquiera del chorro es igual al caudal que sale por la boca del tubo. O sea,

A∙V = Ao∙Vo (1),

siendo A la sección transversal del chorro y V la velocidad del líquido. (Nótese que aquí hemos supuesto que la densidad del agua es constante). A medida que el agua cae, su velocidad aumenta de modo que la sección del chorro deberá disminuir. La ley de conservación de la energía afirma que la pérdida de energía potencial es igual al aumento de energía cinética. O sea, mgy = ½ mV2 . Por consiguiente, V = (2gy)½. Sustituyendo esta expresión de V en la ecuación 1, y reemplazando además la sección A por su valor en términos del diámetro D, a saber, A = π D2/4, obtenemos la relación entre "D" e "y", a saber:

(π D2/4) ∙(2gy)½ = Ao∙Vo ( 2)

Necesitamos encontrar el valor de "y" para el cual el diámetro D es la mitad del diámetro de salida Do. El cálculo se simplifica si reemplazamos la condición D= ½Do por la condición equivalente para las secciones: A=¼Ao. Usando esta condición, la ecuación 2 se reduce a: (2gy)½ = 4Vo, de donde se desprende:

y = 8 Vo2/g (3)

Ahora bien, la velocidad de salida Vo es conocida por el dato del problema que indica que por la sección de 1 centímetro cuadrado sale un caudal de 3 litros por minuto. Ello significa un caudal de 50 c.c. por segundo, o sea Vo = 50 cm/s. Volviendo con este valor a la ecuación 3 resulta finalmente: y = 8∙2500/980 = 20,4 cm, que es lo que había que demostrar.

Comentario: En esta oportunidad la primera respuesta correcta fue enviada por el señor MARCELO REINALDO MORALES MORALES, estudiante del Instituto Preuniversitario Pedro de Valdivia, de Puerto Montt, Chile, por lo que recibirá el premio de PROFISICA que consiste en un texto de Física General a elección donado por la editorial Pearson.

Ganador: MARCELO REINALDO MORALES MORALES, estudiante, Instituto Preuniversitario Pedro de Valdivia, Puerto Montt, Chile.

Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Mayo - Junio 2009