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Problema:

Hace unos días, un antiguo colega me sorprendió con una extraña apuesta: ¿Sabes lo que ocurre si tomamos dos globos de goma idénticos, de los que se usan para festejar cumpleaños, los inflamos un poco y los conectamos entre sí con un tubo? "Es obvio, respondí de inmediato, que el aire pasará desde el que tiene más presión, o sea, el más inflado, al que tiene menos presión, al más desinflado, y ambos globos quedarán con igual volumen". Me propuso entonces hacer el experimento. Compramos dos globos de goma idénticos, los inflamos un poco y los amarramos a los extremos de un tubo de acrílico que sacamos de un lápiz de pasta (ver figura). Grande fue mi sorpresa al observar que, contrario a lo que yo suponía, el globo menos inflado se desinfló rápidamente, mientras el globo más grande aumentó su volumen. Intentamos devolver el aire hacia el globo vacío, pero no lo logramos. Repetimos el experimento, pero esta vez echamos más aire en ambos globos. Comprobamos que ahora los globos quedaron sin cambiar de tamaño aunque sus radios eran bastante diferentes. Perdí la apuesta y tuve que darme por vencido. Propongo a los colegas de PROFISICA que observen este interesante fenómeno y le busquen una explicación.

Globos_conectados

Solución:

El experimento descrito indica que la presión del globo menos inflado es mayor que la presión del globo más inflado, a menos que este último esté muy inflado y próximo a reventar. ¿Por qué el globo de menor tamaño tiene más presión que el globo de mayor tamaño? Intuitivamente uno tiende a pensar lo contrario, como me ocurrió a mí cuando mi colega planteó la pregunta. La respuesta a esta interrogante tiene que ver con la forma cómo la presión interior se relaciona con la tensión superficial del globo. Para encontrar esta relación, consideremos una membrana o superficie esférica. En un punto cualquiera de ella dibujemos un segmento de ancho dx y largo dy. La tensión superficial T en dicho punto es la fuerza tangencial a la superficie que actúa sobre el segmento en dirección x por unidad de largo del mismo. A ella se opone otra tensión de igual magnitud que actúa hacia el lado opuesto del segmento. El diagrama de fuerzas se muestra en la siguiente figura:

tension_superficial_I

Debido a la curvatura de la superficie, ambas fuerzas no son colineales sino forman un pequeño ángulo dφ entre ellas, tal que: Rdφ = dx, siendo R el radio de curvatura. Este par de fuerzas opuestas generan una componente normal a la superficie (Ndxdy) que actúa sobre el segmento en dirección al centro de la esfera. N constituye la llamada "presión normal" (por ser perpendicular a la superficie) y es resultado de la tensión superficial y de la curvatura. De la figura se desprende: Ndxdy = 2Tdy sen(dφ). Ahora bien, siendo el ángulo muy pequeño, puede reemplazarse el seno del ángulo por el valor del mismo. O sea: Ndxdy = 2Tdydφ = 2Tdydx/R. Simplificando a ambos lados por dxdy encontramos la relación: N = 2T/R, o sea, la presión normal N es proporcional a la tensión superficial pero inversa al radio de curvatura, relación que es independiente de la superficie y vale en todo punto de la esfera. La presión total que actúa desde afuera hacia adentro sobre el globo es igual a N más Po, siendo Po la presión exterior o atmosférica. A éstas se opone la presión interna P del aire o gas dentro del globo:

P = Po + 2T/R

Esta relación es conocida como "ecuacion de Young-Laplace". Nótese que la presión interior del globo es siempre mayor que la presión exterior debido a la tensión superficial y a la curvatura. Para responder ahora el problema propuesto, es necesario examinar cómo la tensión superficial T depende del radio R del globo. Sabemos que T(R) debe ser una función creciente de R porque a medida que el globo se estira, la tensión superficial aumenta y puede incluso llegar a destruir el globo. Por eso podemos expresar T(R) como expansión en serie de potencias de R así:

T = A + BR + O(R2)

El primer término ("A") es constante de origen molecular y predomina cuando R es pequeño. El segundo término ("BR") aumenta linealmente con R y corresponde al régimen de estiramiento elástico de la goma. El tercer término crece con potencias más elevadas de R. Predomina cuando el globo está muy inflado y corresponde al comportamiento inelástico de la goma. Al juntar estas dos ecuaciones obtenemos la respuesta que buscamos:

P = Po + 2A/R + 2B + O(R)

El gráfico de P como función de R lucirá más o menos así:

tension_superficial_II

Al empezar a inflar el globo, su radio es pequeño, su presión es alta y disminuye al aumentar R (régimen I). Luego la presión se mantiene más o menos estable para R entre R1 y R2 (régimen II) y crece abruptamente cuando R > R2 hasta llegar a un punto de ruptura (régimen III). Un globo poco inflado (I) en contacto con otro igual pero más inflado (II) tiene mayor presión que éste y el aire pasa del más chico al más grande. Sin embargo, si ambos globos se encuentran en la zona II, aunque sus radios sean diferentes, tienen más o menos igual presión y el aire no cambiará entre ellos. Si el segundo globo se infla mucho (III) puede llegar a superar la presión del globo (I) pero con grave riesgo de reventar en el intento.

Comentario: En esta oportunidad hubo muchos participantes, especialmente estudiantes, que se mostraron muy motivados por el problema propuesto. Varios de ellos experimentaron con globos e hicieron mediciones. El Consejo de PROFISICA acordó otorgar el premio al señor FRANCISCO CARMONA BALBONTIN, estudiante de tercero medio del Instituto O'Higgins de Rancagua, Chile, por enviar la primera respuesta básicamente correcta.

Ganador: Francisco Carmona Balbontin, estudiante, Instituto O'Higgins, Rancagua, Chile

Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Noviembre - Diciembre 2008