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 E_A =\frac{ kQ_A}{R_A^2}=\frac{ kVR_A}{R_A^2}=\frac{V}{R_A}Problema:

Dos esferas metálicas huecas, A y B, de distintos tamaños (con A más grande que B) están conectadas entre sí por un cable conductor eléctrico, pero aisladas de todo contacto con tierra. Si se las carga eléctricamente con una carga total Q, aplicándoles por ejemplo un voltaje de diez mil volts, ¿cuál de las esferas queda con mayor carga? ¿Cuál de ellas tiene un campo eléctrico más intenso en su superficie? Suponga ahora que se produce repentinamente una descarga eléctrica a través del aire (debido por ejemplo a una mayor humedad atmosférica), ¿en cuál de las dos esferas saltará la chispa? Justifique sus respuestas.

Solución:

1. La capacidad eléctrica C de una esfera conductora es proporcional a su radio R, o sea, la esfera grande tiene más capacidad para recibir carga eléctrica que la esfera chica. Este resultado se explica a partir de la ley de Coulomb, según la cual el campo eléctrico E en un punto P ubicado a distancia r del centro de una esfera conductora aislada está dado (para r ≥ R) por  E =\frac{ kQ}{r^2}, siendo k la constante de Coulomb y Q la carga eléctrica de la esfera. Nótese que la carga actúa como si toda ella estuviese concentrada en dicho centro, de manera similar a lo que ocurre con la interacción gravitatoria. Si el punto P se sitúa sobre la superficie de la esfera, entonces r = R, de manera que el campo en la superficie es:

 E =\frac{ kQ}{R^2}

El campo E representa la fuerza que actúa sobre una carga unitaria. Consideraciones energéticas, usando el teorema del trabajo y la energía potencial, permiten calcular el "potencial electrostático" (o "voltaje") en el punto P (o sea, la energía potencial que tendría una partícula de prueba con carga +1 colocada en dicho punto), resultando  V =\frac{ kQ}{r}, expresión que es válida siempre que la energía potencial sea cero cuando la partícula se encuentra infinitamente alejada de la esfera. De aquí se desprende que, en el caso r = R, o sea, en la superficie de la esfera, el voltaje V y la carga Q se relacionan así:

 V =\frac{ kQ}{R}

Se llama "capacidad" de la esfera al cuociente entre la carga y el voltaje: C ≡ Q/V. Al sustituir V en esta expresión resulta C = R/ k, lo cual comprueba que la capacidad es proporcional al radio R de la esfera, como afirmamos al comienzo. En el problema propuesto, tenemos un sistema formado por dos esferas conductoras A y B unidas por un cable eléctrico. Al cargar una de ellas, la carga se distribuye casi instantáneamente (en menos de una mil millonésima de segundo) por todo el sistema (transportada por los llamados "electrones libres" del metal), y el equilibrio estático se logra cuando el voltaje tiene el mismo valor en toda la estructura metálica - o sea, cuando la carga ya no encuentra puntos de menor energía hacia donde moverse - de manera similar al nivel de equilibrio que logra el agua en un sistema de vasos comunicantes. Dado que el voltaje es el mismo en todo el sistema, se concluye que: la esfera que recibe la mayor carga es la que tiene más capacidad, o sea, la esfera A.

2. Para responder a la segunda pregunta, o sea, cuál esfera tiene un campo eléctrico más intenso en su superficie, podemos usar la fórmula de Coulomb mencionada más arriba, con la advertencia de que ella es válida en rigor sólo si la esfera en cuestión está aislada de la influencia de otros cuerpos cargados eléctricamente. Debemos suponer, en consecuencia, que ambas esferas están suficientemente separadas una de la otra (y que las cargas no son demasiado intensas) para que nuestro cálculo sea una buena aproximación a la realidad. El campo en la superficie de la esfera A es:

 E_A =\frac{ kQ_A}{R_A^2}=\frac{ kVR_A}{R_A^2}=\frac{V}{R_A}

Similarmente, el campo en la superficie de la esfera B es:

 E_B =\frac{ kQ_B}{R_B^2}=\frac{ kVR_B}{R_B^2}=\frac{V}{R_B} 

¡Nótese que el campo en la superficie es inversamente proporcional al radio! Como el voltaje V es el mismo en ambas esferas (debido a que están conectadas por el cable eléctrico), resulta que... ¡el campo eléctrico es más intenso en la superficie de la esfera pequeña! (pese a tener ésta menos carga), contrariamente a lo que podría habernos sugerido nuestra intuición a priori. Más aún, el fenómeno es tanto más notorio cuanto menor sea el radio de la esfera.

3. Finalmente, la tercera pregunta se responde de inmediato: ¡la chispa saltará en la esfera más pequeña! En efecto, el aire seco es un buen aislador eléctrico pero si aumenta la humedad atmosférica las moléculas de agua que se encuentran en contacto con la esfera chica se disociarán primero y por allí se producirá la descarga eléctrica. Este resultado explica el llamado "efecto punta", fenómeno empírico que muestra que las chispas se producen en las puntas de los objetos cargados, porque a menor radio de curvatura mayor será el campo eléctrico superficial. Por eso,... ¡nunca abra un paraguas para cubrirse de la lluvia bajo una tempestad eléctrica, porque la punta metálica del paraguas puede desencadenar una descarga eléctrica entre la atmósfera y la tierra a través suyo!

Comentario: Este problema es un clásico de la Electrostática y aparece tratado en casi todos los buenos textos de Física General. Aunque en esta oportunidad tuvimos menos participantes que otras veces, debido tal vez a la dificultad del tema, la primera respuesta correcta y completa fue enviada por el señor Juan Hidalgo Jara, profesor del Liceo Sagrado Corazón de Hospicio, a quien el Consejo de PROFISICA designó ganador del concurso de este mes y quien recibirá como premio un texto de Física General a su elección otorgado por Editorial Pearson (Chile).

Ganador: Juan Hidalgo Jara, profesor del Liceo Sagrado Corazón de Hospicio

Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Marzo 2007