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Problema:

Considere un cable eléctrico de cobre de un milímetro cuadrado de sección el cual ha sido instalado bajo tierra entre dos localidades A y B separadas entre sí varios kilómetros. El cable funciona sin dificultad hasta que un día falla la envoltura aislante en algún punto X situado entre A y B, y se produce una fuga de electricidad (o descarga a tierra). Consternado el administrador recurre al profesor de física local y lo sorprende con la siguiente pregunta: ¿Cómo determinar la ubicación de la falla sin tener que desenterrar todo el cable? ¿Qué contestaría usted?

Solución:

El profesor interpelado sabe muy bien que la resistencia eléctrica de un cable de sección uniforme es proporcional al largo del cable. La fórmula general indica que la resistencia R de un cable de largo L y cuya sección tiene un área A queda dada por la expresión: R = ρ L/A, siendo r la resistividad del material, la cual en el caso del cobre a temperatura ambiente posee el valor  \rho = 1,7 \times 10^{-8} ohm-metro. Esto significa por ejemplo, según la fórmula, que un cable de cobre de un milímetro cuadrado de sección y un kilómetro de largo tiene una resistencia de 1,7 \times 10^{-8} \times \frac{1000}{6} = 17,0 ohms.

Este dato nos permite calcular la resistencia total del cable de cobre subterráneo, suponiendo que está en perfectas condiciones, con sólo multiplicar este valor por el número de kilómetros entre A y B. A modo de ilustración, supongamos que la distancia entre A y B es 6 kilómetros, entonces la resistencia total será en tal caso 102 ohms. Nótese que podríamos haber supuesto cualquier otro largo, pero para efectos del cálculo suponemos simplemente que AB = 6000 metros y por lo tanto R = 102 ohms.

Pues bien, el problema ahora consiste en determinar dónde se produjo la falla. En algún punto X entre A y B la corriente se va a tierra. Si pudiésemos medir la resistencia del trozo AX del cable (que llamaremos R1), o la resistencia del trozo BX (que llamaremos R2), entonces podríamos calcular la ubicación del punto X. Pero para ello hay una dificultad: no conocemos la resistencia que presenta la envoltura aislante a la fuga de la corriente en el punto dañado (que llamaremos R3). Si no hubiese daño, esta resistencia sería infinita y la corriente no podría fugarse a tierra. En cambio, donde hay daño, la resistencia de la envoltura aislante es mucho menor y por allí la corriente fluye a tierra.

El siguiente esquema muestra el cable haciendo contacto con tierra en el punto X:

cablesubterraneo

Afortunadamente podemos determinar las resistencias R1, R2 y R3 de una manera muy sencilla y así resolver el problema. Para ello usamos un simple multímetro manual, de esos que hay en todo laboratorio o taller eléctrico. Primero medimos en A la resistencia R1 + R3 que presenta el cable dañado al conectar un electrodo del multímetro al extremo A del cable y el otro electrodo a tierra. La fuga se manifiesta por el paso de corriente desde A a tierra y el multímetro emite una señal auditiva que indica "continuidad" entre ambos electrodos. Luego nos trasladamos a B para medir la resistencia R2 + R3 que presenta el extremo B del cable con respecto a tierra. Nótese que medir la resistencia de cada trozo equivale a aplicar un voltaje conocido en A o B, según el caso, y detectar la corriente que circula hacia tierra.

Supongamos que de la primera medición obtenemos: R1 + R3 = 80 ohms.

Supongamos que de la segunda medición obtenemos: R2 + R3 = 90 ohms.

Además sabemos que la resistencia total del cable bien aislado es, según hemos calculado más arriba : R = R1 + R2 = 102 ohms.

O sea tenemos aquí un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas. Este sistema se resuelve muy fácilmente restando la primera de la segunda, y luego sumando la tercera, con lo que resultan los siguientes valores: R1 = 46 ohms, R2 = 56 ohms y R3 = 34 ohms.

Nótese que el procedimiento es completamente general y no depende de los supuestos que hemos usado para ilustrar la solución del problema.

Ahora sólo falta traducir las resistencias R1 y R2 en longitudes AX y BX. Para ello volvemos a la fórmula inicial: R =ρ L/A. Despejando L queda: L = RA/ρ , ecuación que en nuestro caso entrega la solución buscada al aplicarla a R1 y R2:

La longitud entre A y X es:

{tex}AX = R_1A/ \rho = 46 x 10^{-6}/ 1,7 x 10^{-8} = 4600/ 1,7 = 2706 metros.

Consiguientemente, el trozo BX tiene una longitud de 3294 metros. Así el punto donde deberá excavarse para reparar el material aislante ha sido determinado por el profesor de física sin tener que desenterrar todo el cable.

Comentario: Agradecemos el interés manifestado por los miembros de PROFISICA en esta oportunidad y felicitamos al Sr. Pedro Vera, estudiante del Instituto Nacional, por enviarnos la mejor respuesta al problema planteado.

Ganador: Pedro Vera, estudiante del Instituto Nacional


Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Diciembre 2006