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Problema:

Un barco navega sigilosamente por aguas enemigas. Repentinamente el sonar detecta la proximidad de un submarino. Si el sonar emite una señal sonora de frecuencia 1000 Hz y 6 segundos más tarde recibe de vuelta un eco de frecuencia 1020 Hz, ¿con qué velocidad se aproxima el submarino y cuánto demorará en llegar a donde está el barco? Considere que la velocidad del sonido en el agua es 1530 m/s.

Solución:

Este es un típico problema de Efecto Doppler clásico, efecto que se manifiesta en todo fenómeno vibratorio que se propaga en un medio homogeneo, como es aquí el caso del sonido en el agua. La frecuencia percibida por el receptor (f’) no es la misma frecuencia emitida por la fuente (f) sino dependerá de la velocidad con que ya sea la fuente o el receptor se mueven respecto del medio. Así, por ejemplo, si la fuente está fija y el objeto que recibe la señal se aproxima con velocidad V, la frecuencia percibida está dada por la expresión: f’ = f (1 + V/C) (1), en que “C” representa la velocidad del sonido en el medio en cuestión. Esta fórmula sufre una leve modificación cuando ocurre que es la fuente la que se aproxima y el receptor está fijo. En este segundo caso, si llamamos f’ a la frecuencia emitida por la fuente cuando se acerca con velocidad V, la frecuencia f’’ que percibe el receptor fijo queda dada por la expresión: f’’ = f’ / (1 - V/C) (2). Cuando se trata de alejamiento en vez de acercamiento, hay que cambiar V por -V en ambas fórmulas.

En el problema del submarino debemos aplicar ambas fórmulas consecutivamente, porque primero la onda sale con frecuencia f de una fuente fija (el barco, cuyo movimiento es muy lento comparado con la velocidad del sonido en el agua) y llega al submarino que se aproxima velozmente. Luego la onda rebota en éste con la frecuencia f’ (dada por la fórmula 1.) y el eco es percibido por el barco con la frecuencia f’’ (dada por la fórmula 2.). Reemplazamos entonces f’ de (1) en (2) y obtenemos la expresión 3:

f’’ = f (1 + V/C) / (1 - V/C) (3).

Sustituyendo ahora los valores numéricos del problema propuesto, a saber: f = 1000 Hz, f’’ = 1020 Hz, C = 1530 m/s, obtenemos de inmediato la velocidad V con que se acerca el submarino: V = C [ (f’’ - f) / (f’’ + f) ] = C [ 20/ 2020)] = 1530 x 0,0099 = 15,15 m/s.

Expresado este resultado en kilómetros por hora, equivale a: V = 54,53 km/h Dado que el sonido demora 3 segundos en ir como en volver, el submarino se encuentra al momento de ser detectado a una distancia: L = C x 3 = 1530 x 3 = 4590 m = 4,59 km.

De manera que el submarino llegará a donde está el barco en un lapso de: T = L / V = 4590 / 15,15 = 303 segundos = 5,05 minutos.

Comentario: Es interesante señalar que las fórmulas 1. y 2. del Efecto Doppler Clásico (cuya deducción es muy sencilla como puede verse en cualquier texto de Física General) no son estrictamente aplicables a las ondas electromagnéticas, o luz, debido a que no existe un medio respecto del cual éstas se propagan con una rapidez determinada, contrariamente a lo que se creía a fines del siglo 19 con la llamada “hipótesis del éter”, hipótesis que fue desvirtuada por el experimento de Michelson y Morley y descartada por Einstein en su Teoría de la Relatividad Especial. La fórmula correcta para el caso de la luz no hace distinción entre el movimiento de la fuente y del receptor, sino únicamente considera la velocidad relativa entre ambos objetos. La diferencia entre la frecuencia emitida y percibida es apreciable sólo cuando dicha velocidad es significativa en comparación a la velocidad de la luz. En caso contrario, el efecto es despreciable. Agradecemos el interés mostrado por los participantes, quienes enviaron numerosas respuestas. Sin embargo, la mayoría de los participantes cometió el error de no tomar en cuenta el efecto Doppler que afecta a la señal de retorno, o sea, al eco. En esta oportunidad, el Consejo de PROFISICA ha resuelto premiar con un texto de Física otorgado por Editorial Pearson (Chile) a la respuesta enviada por el Sr. Juan Francisco Aravena Muñoz, profesor del Liceo Alberto Hurtado, Santiago.

Ganador: Juan Francisco Aravena Muñoz, Prof. Liceo Alberto Hurtado, Santiago


Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Mayo 2006