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Problema:

Juan es un joven estudiante que a veces lava autos para ganarse unos pesos. Cierta vez, limpiando una tapa de rueda, ésta quedó brillante como un espejo. Juan acercó la tapa hasta unos 15 cm delante de su cara y se miró en ella. Observó que su imagen en el espejo se veía algo más pequeña que si se mirase en un espejo plano. Entonces dio vuelta la tapa y manteniéndola a la misma distancia de sus ojos se miró por el otro lado. Ahora encontró que la imagen tenía un tamaño tres veces mayor que en el caso anterior. Recordó estos datos y comentó su observación al profesor de física del Liceo. "Con lo que has aprendido sobre espejos esféricos, tu podrías calcular el radio de curvatura de la tapa" le dijo éste. Juan aceptó el desafío y al día siguiente llegó con el resultado correcto. ¿Cómo lo hizo? ¿Cuál es el valor de R?

Solución:

En esta oportunidad recibimos numerosas respuestas, pero sólo una de ellas correcta, la cual fue enviada por Rodrigo Ignacio Cornejo Arredondo, estudiante del Liceo Carmela Carvajal de Prat, Osorno, Chile. Debido a la calidad de esta respuesta, el Consejo de PROFISICA acordó publicarla in extenso y otorgarle el premio correspondiente. A continuación va la solución del problema enviada por Rodrigo Ignacio Cornejo Arredondo:

Justificacion:

En el primer caso el espejo es convexo, debido a que la imagen formada es más pequeña que el objeto, y no puede ser más grande como se ve en el segundo caso. Por lo tanto el segundo espejo es concavo.

En ambos casos la distancia objeto es de 15 centimetros y la imagen es virtual, porque es derecha ,ya que no se especifica lo contrario.

En el segundo caso la imagen formada es tres veces mayor que la imagen del caso uno.

Como la relacion existente entre tamaño imagen y distancia imagen es directa, se puede formar un sistema de ecuaciones con ambos casos.

Distancia objeto caso uno: 15 cm

Distancia objeto caso dos: 15 cm

La distancia imagen del caso uno será \"L\" y la distancia imagen del caso dos sera \"3L\", ya que el tamaño de la imagen formada en el caso uno es \"X\" y en el caso dos es \"3X\".

La formula general es:

1/F = 1/o + 1/I

F: Distancia focal, o: distancia objeto, I: distancia imagen

La formula en el caso uno seria:

1/-F = 1/15 + -1/L

\"L\" toma un valor negativo porque la imagen formada es virtual.

\"F\" toma un valor negativo porque se trata de un espejo convexo.

La formula en el caso dos seria:

1/F = 1/15 + -1/L

\"F\" es positivo porque es un espejo concavo.

\"L\" es negativo porque la imagen formada es virtual.

Sustituyendo en el sistema de ecuaciones se obtiene:

(L-5)/-15L = (L-15)/15L

15L(L-5) = -15L(L-15)

15L^2 - 75L = -15L^2 + 225L

30L^2 = 300L

30L^2 - 300L = 0

L (30L-300) = 0

Entonces, L = 0 cm ó L = 10 cm.

Es decir la distancia imagen en el primer caso es de 10 cm y en el segundo caso es de 30 cm.

Este valor se reemplaza en una de las dos ecuaciones del sistema anterior y con eso se obtiene el valor de la distancia focal, que es 30 cm.

El radio de circunferencia de un espejo es el doble de la distancia focal de éste. Por lo tanto, el radio del espejo es de 60 cm.

Ganador: Rodrigo Ignacio Cornejo Arredondo, estudiante, Liceo Carmela Carvajal de Prat, Osorno.

 

Problema propuesto por el profesor Jorge Ossandon
Septiembre 2008