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Problema:

Un agujero negro es un cuerpo celeste tan denso que de su superficie ni la luz puede escapar. Sabiendo que la masa de la Tierra es 5,98 \times 10^{24}\ Kg, ¿cuál sería su radio máximo si fuese un agujero negro? ¿Cuál sería entonces su densidad? ¿Modificaría la actual órbita de la Luna? Aplique conceptos newtonianos y explique sus argumentos

Solución:

Llamamos “agujero negro” a un objeto estelar tan denso que la velocidad de escape desde su superficie es superior a “c” (velocidad de la luz en vacío). Tal objeto puede recibir materia y energía radiante desde su entorno, pero no puede reemitirlas. En efecto, según la teoría de la Relatividad, una velocidad tan alta es imposible físicamente por lo que nada puede escapar de su superficie. Por lo tanto, todo lo que entra queda atrapado en su interior contribuyendo a aumentar su masa. De allí el apelativo “negro”, porque no emite ni refleja la luz que recibe. La teoría estelar indica que toda estrella de masa superior a unas tres veces la masa solar termina su ciclo evolutivo al agotar su “combustible” nuclear y colapsa en la forma de un agujero negro. Ello significa que hay millones de agujeros negros en cada galaxia, los cuales a través de la interacción gravitatoria entre ellos, pueden atraparse mutuamente y formar agujeros negros “supermasivos”. Los agujeros negros han sido detectados indirectamente gracias a los efectos que sus intensos campos gravitacionales ejercen sobre el entorno. La velocidad de escape desde la superficie de una esfera homogénea de radio R y masa M está dada por la fórmula:V= \left ( \frac{2GM}{R} \right )^2 Esta fórmula se obtiene de una simple ecuación de conservación de energía (ya que el campo gravitatorio es conservativo). Se trata de responder la pregunta ¿cuál es la energía cinética mínima que debe tener una partícula de masa m que se encuentra sobre la superficie de la esfera para poder alejarse indefinidamente de su centro de atracción? Esa energía debe ser a lo menos igual a la diferencia de energía potencial de la partícula entre su ubicación en el infinito (la cual vale cero) y su ubicación en la superficie de la esfera (la cual vale: – \frac{GMm}{R} ) .

En consecuencia, la velocidad de escape de la partícula debe cumplir la condición:\frac{mv^2}{2} \geq \frac{GMm}{R} , de donde se desprende la fórmula anterior. Si suponemos ahora que nuestro planeta se transformase en un agujero negro, podemos emplear dicha fórmula para calcular el máximo radio que debiera tener la Tierra para que la velocidad de escape desde su superficie fuese igual a “c”. Ponemos “c” en lugar de V y despejamos R, obteniendo:  R = \frac{2GM}{c^2}. Introducimos aquí los valores de las siguientes constantes:

Constante de gravitación de Newton:  G = 6,672\times 10^{-11} [Nm^2/kg^2]

Masa de la Tierra: M = 5,98\times 10^{24} [kg]

Velocidad de la luz en vacío: c = 2,998\times 10^{8} [m/s]

El resultado es: R \approx 8,8\times 10^{-3} m. O sea el radio que tendría la Tierra si fuese agujero negro sería igual a 8,8 milímetros, como máximo. Toda su masa estaría contenida en una esfera de radio no mayor a 8,8 milímetros, cuyo volumen es V = (4/3)πR3, de modo que su densidad alcanzaría la enorme cifra \rho = m/v \approx 2,0 \times 10^{30} [kg/m^3], equivalente a 27 órdenes de magnitud superior a la densidad de una roca común. Cabe señalar que la órbita de la Luna no se vería afectada (en una aproximación newtoniana) porque el centro de gravedad terrestre no cambia y la interacción gravitatoria entre la Tierra y la Luna, a la distancia que las separa, depende sólo de sus masas y no de sus radios. La Luna seguiría girando en su órbita por miles de millones de años debido a que su Momentum Angular se mantiene estable y evita que ella caiga al centro de atracción (aunque éste sea un agujero negro) a menos que reciba violentos impactos de otros cuerpos celestes.

Comentario: En esta oportunidad recibimos varias respuestas, la mayoría de ellas correctas. El Consejo de PROFISICA acordó premiar a la primera de éstas, que respondió correctamente las tres partes del problema, y fue enviada por el señor Martin Roble, estudiante del Colegio Francisco de Miranda, Santiago, Chile, quien recibirá como premio un texto de Física General donado por Editorial Pearson.

Ganador: Martin Roble, estudiante, Colegio Francisco de Miranda, Santiago.

Problema preparado por el Profesor Jorge Ossandon
Agosto 2008