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Problema:

Pedro es aficionado al deporte del tiro al blanco y su padre le acaba de regalar un estupendo rifle de competición por haber aprobado con éxito su primer año de ingeniería. El sabe que, según los estudios de Galileo, el proyectil describe una trayectoria parabólica desde que sale del cañón hasta que da en el blanco. Con gran destreza ajusta la mira telescópica, montada encima del cañón, y luego dispara al blanco ubicado a 100 metros de distancia en línea horizontal, logrando un perfecto acierto. La velocidad de la bala es tan grande que el disparo y el impacto son casi simultáneos. ¿Cuál es la rapidez del proyectil? Para contestar esta pregunta Pedro invierte el fusil (como indica la figura) de manera que la mira queda por debajo del cañón y apunta nuevamente hacia el blanco. Esta vez la bala no acierta sino cae 1 metro por debajo del blanco. Con estos datos, y lo que aprendió en el curso de Física, Pedro concluye que el rifle imprime al proyectil una velocidad de 313 metros por segundo. ¿Cómo lo hizo para llegar a este resultado?

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Solución:

Según Galileo, el movimiento del proyectil puede describirse, idealmente, como la superposición de dos movimientos independientes, a saber, una traslación uniforme en el eje horizontal (X) y una caída libre, uniformemente acelerada, en el eje vertical (Y). Lo anterior supone que los efectos provocados por el roce con el aire son despreciables, y que la aceleración de gravedad (G) a lo largo del recorrido es constante. Así, la trayectoria está enteramente contenida en el plano vertical y queda descrita por sólo dos ecuaciones, una en cada eje, que describen la posición (X,Y) en función del tiempo (T):

X = Xo + Vo T cosA

Y = Yo + Vo T senA - ½GT2

Aquí las coordenadas (Xo,Yo) indican la posición inicial y los símbolos “Vo” y “A” representan el módulo y el ángulo de elevación, respectivamente, del vector Velocidad Inicial. Por su parte, el vector G (aceleración de gravedad) tiene sólo componente vertical con signo negativo.
Para simplificar el álgebra elegiremos como origen O de nuestro sistema de coordenadas a la posición inicial, o sea, al punto de salida del proyectil, de modo que Xo = Yo = 0.

Despejando ahora T de la primera igualdad y reemplazándolo en la segunda, obtenemos la “Ecuación de la Trayectoria”, que corresponde a una parábola:

Y = X (tanA) - ½GX2/Vo2(cosA)2

Todo punto de la trayectoria debe satisfacer esta expresión. En particular, consideremos el centro del blanco (que denominaremos punto “P”). Para él se cumple:

YP = XP (tanA) - ½GXP2/Vo2(cosA)2

Ahora bien, al invertir el fusil, tenemos una segunda trayectoria que se diferencia de la primera únicamente en el ángulo de disparo, el cual sólo cambia de signo. El módulo Vo de la velocidad del proyectil no cambia. O sea, la ecuación para la segunda trayectoria es similar a la anterior excepto que ahora en vez de A debemos poner –A. Nótese que al cambiar el signo del ángulo, la función “tanA” cambia de signo pero la función “cosA” no cambia. Llamemos “Q” al punto por donde pasa esta segunda trayectoria, el cual está un metro por debajo del centro del blanco. Las coordenadas del punto Q satisfacen entonces una ecuación similar a la de P, salvo por el signo de A. O sea, para esta segunda trayectoria se cumple:

YQ = - XQ (tanA) - ½GXQ2/Vo2(cosA)2

Tenemos dos ecuaciones para las dos incógnitas A y Vo. Nótese que XP = XQ = 100, y que YP = 0, YQ = -1. Ahora podemos restar y sumar estas ecuaciones. En efecto, restando la segunda de la primera despejamos el ángulo:

tanA = (YP – YQ)/(XP + XQ) = 1/200 = 0,005

por lo que el ángulo de elevación resulta ser: A = arctan(0,005) = 0,2865 grados.

Sumando finalmente ambas ecuaciones, se despeja la velocidad del proyectil: Vo2 = 10000 G/ (cosA)2. Insertando aquí el valor de A recién obtenido, y poniendo G = 9,8 m/s2, se logra el resultado buscado: Vo = 313,05 m/s.

COMENTARIO
En esta oportunidad recibimos numerosas respuestas, casi todas de ellas correctas, enviadas tanto por estudiantes como profesores, desde los más diversos lugares del Norte, Centro y Sur de Chile, así como del extranjero. Por tratarse de la primera respuesta correcta recibida, el Consejo de PROFISICA acordó otorgar el premio al señor Manuel Hernández Salinas, estudiante, Liceo Galvarino Riveros Cárdenas, de la ciudad de Castro, Chiloé, quien recibirá un texto de Física General donado por Editorial Pearson. PROFISICA agradece a todos los participantes por el interés demostrado y los anima a continuar intentando en los futuros concursos.
 
 
 
 
 
Problema preparado por el profesor Jorge Ossandon