COMO FUNCIONA:
EL CONDENSADOR ELÉCTRICO
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ARTÍCULO ACTUALIZADO 2010

José Luis Giordano
Abril 22, 2007 (Última revisión: Octubre 27, 2010)



INTRODUCCIÓN

Casi todos los circuitos electrónicos están basados en la existencia de varios tipos de "condensadores eléctricos" o "capacitores". Sin su invención no se hubiesen podido desarrollar una infinidad de circuitos sintonizados tal como los conocemos, como por ejemplo los sistemas de radio, televisión, teléfonos, detectores de metales y equipos de audio.

En este artículo se describen los capacitores desde el punto de vista de las aplicaciones. Pero también por otro lado, se enfatizan aspectos conceptuales, en relación a la inducción electrostática, y a las conservaciones de la carga eléctrica y de la energía, en los procesos de carga y descarga. Específicamente, se trata el famoso problema de la energía perdida entre dos condensadores. Finalmente se comenta algo sobre la invención del capacitor y sobre el trabajo de Franklin.



1-QUÉ ES

Un capacitor o condensador eléctrico es un componente:
1) eléctrico (trabaja con corrientes y voltajes)
2) pasivo (no proporciona ganancia ni excitación)
3) de dos terminales (que puede ser simétrico o bien, polarizado), y
4) que acumula carga eléctrica.

Nota sobre el nombre: Antiguamente se trataba a la electricidad como un fluído. Al acumular carga se hablaba de "condensar carga eléctrica" y al acumulador de carga se lo llama "condensador". En inglés también se usaba "condenser" (desde que Volta lo llamó así en 1782), hasta que fue reemplazado por "capacitor". En este artículo también se prefiere usar "capacitor", o bien, "condensador eléctrico" como sinónimo, reservando "condensador" para los dispositivos que condensan vapor o gas. Análogamente, en este contexto se usa "capacitancia" o bien "capacidad eléctrica" (en vez de decir solamente "capacidad", que se reserva para volumen).


Fig. 1: Conjunto de capacitores fijos para colocar en circuitos impresos.


Las principales características que describen a un capacitor son:
1) Fijo o variable
2) Electrolítico o no, Con o sin polaridad y Material del dieléctrico
3) Capacidad eléctrica nominal C (en pF, nF, μF o en mF)
4) Tolerancia de la capacitancia (en %)
5) Voltaje máximo de operación ΔVmax (en V ó kV)
6) Temperatura máxima o Rango de temperatura de operación (en °C)
7) Tipo de encapsulado y terminales para montaje (axial o no, superficial o no)

De esas propiedades, la principal es su capacitancia o capacidad (de acumular carga) eléctrica C, que en el S. I. de Unidades se mide en "F", "farad" o "faradio", y es la relación entre la carga acumulada Q (que se mide en "C", "coulomb" o "coulombio") y la diferencia de potencial o voltaje ΔV entre sus 2 terminales (en "V", "volt" o "voltio") que existe cuando está cargado:

C = QV

El valor C de la capacitancia es una constante del capacitor (un número real positivo) que depende de parámetros geométricos (forma y tamaño del capacitor) y físicos (del material del dieléctrico).

Como el farad y el coulomb representan cantidades muy grandes de capacitancia y de carga eléctrica respectivamente, es más común encontrar F y C con los prefijos p ("pico", 10-12), n ("nano", 10-9), μ ("micro", 10-6) y m ("mili", 10-3).

Cuando un capacitor de capacidad eléctrica C tiene una diferencia de potencial ΔV, el capacitor está cargado con una carga Q = C ΔV. La carga máxima que puede acumular está determinada por otro parámetro importante del capacitor: el voltaje máximo ΔVmax que es inferior pero cercano al "voltaje de ruptura" (VBR, Breakdown Voltage) que pueda tener sin destruirse. Este voltaje también depende de parámetros geométricos del capacitor y físicos del material dieléctrico.

Un criterio de diseño arbitrario pero típico es usar hasta un voltaje que sea el máximo dividido por raiz de 2. Por ej. un capacitor cuyo voltaje máximo nominal sea 25 V, con este criterio debería estar sometido a voltajes inferiores al 71% de 25 V (unos 18 V).

El parámetro del material directamente relacionado con el VBR, es el campo eléctrico de ruptura dieléctrica, denominado "resistencia dieléctrica" o "ruptura dieléctrica" (EBR, Dielectric Strength) que se mide en kV/mm (ó 106 V/m). Para el aire seco en condiciones normales la ruptura se produce a 3 kV/mm aproximadamente.

La tolerancia porcentual (que se indica generalmente con letras), determina el rango de valores en el que está (con cierta probabilidad) la capacitancia de un capacitor comercial. La tolerancia está asociada a la calidad en su fabricación. Por ejemplo un capacitor con una capacitancia nominal de "1000 μF" y una tolerancia "M" (20%) significa que el valor de su capacidad eléctrica debería estar entre 800 y 1200 μF. Los códigos de tolerancia más comunes son:
"M" ±20%
"K" ±10%
"J" ±5%
"G" ±2%
"F" ±1%
"D" ±0.5%
"C" ±0.25%
"B" ±0.1%
"A" ±0.05%
"Z" ±0.025%



2-PARA QUÉ SIRVE

Un capacitor es un elemento muy simple, pero según cómo y dónde se utilice, sirve para diferentes e importantes funciones, como por ejemplo:

2.1 Acumuladores de energía:
Un capacitor cargado, puede proporcionar carga eléctrica para realizar un cierto trabajo. Por lo tanto, todo capacitor cargado tiene una energía potencial eléctrica U acumulada (que se mide en "J", "joule" o "julio"). Puede demostrarse que

U = (1/2) Q ΔV

y entonces también puede expresarse

U = (1/2) Q2/ C = (1/2) CV)2

Como ejemplo de aplicación de los capacitores con esta función (acumuladores de energía) se tienen los magnetizadores y desmagnetizadores de imanes (de parlantes por ej.), sistemas de campo magnético pulsado, fuentes de plasma pulsado, circuitos de disparo del flash de cámaras fotográficas y de algunos chisperos (encendedores) electrónicos. Según la aplicación, estos capacitores deben ser capaces de cargarse con más o menos alto voltaje (entre 0.2 y 1 kV típicamente) y ser aptos para soportar descargas más o menos rápidas (entre 0.001 y 1 ms típicamente).

2.2 Filtros de rizado:
Esta función se encuentra en las fuentes de alimentación (de corriente y/o de voltaje), donde los capacitores se utilizan para eliminar ("filtrar") el rizado o riple remanente de la conversión de corriente alterna (AC) en continua (DC) realizada por el circuito rectificador.

Hasta aproximadamente los años 1980’s, los diseñadores electrónicos calculaban el transformador óptimo para una dada aplicación, mediante el uso de las "Curvas de Schade" ( Schade O H 1943 Analysis of Rectifier Operation Proc. IRE 31(7) 341-361 ). En el cálculo del transformador, también estimaban la capacitancia y el voltaje máximo del capacitor. En la actualidad, se utilizan transformadores y capacitores de valores típicos, mientras que el filtrado final se realiza con un circuito integrado regulador de voltaje de 3 terminales, que puede ser fijo como el "7805", ó ajustable como el "LM317".

2.3 Filtros de audiofrecuencia (AF):
Cuando señales compuestas por diferentes frecuencias se aplican a un capacitor, éste tiene más "reactancia capacitiva" a las ondas de relativa baja frecuencia. Este hecho tiene una importante aplicación en los circuitos preamplificadores y amplificadores de audio. En particular, los divisores de frecuencia pasivos (compuestos por capacitores, bobinas y resistores) que se encuentran dentro de algunas cajas acústicas ("baffles"), tienen configuraciones simples denominadas "filtros pasa altos" que dejan pasar las frecuencias medias y altas (a través de capacitores en serie) hacia los parlantes de sonidos medios y agudos ("tweeters"). También forman "filtros pasa bajos" que cortocircuitan a tierra los agudos (a través de un capacitor en paralelo) para que no lleguen a los parlantes de sonidos más graves ("woofers"). Estos divisores de frecuencia también se utilizan con luces psicodélicas en teatros, discotecas y pubs, para enviar los bajos hacia lámparas de cierto color, y los sonidos medios y los altos a otras lámparas de diferente color.

2.4 Filtros de radiofrecuencia (RF) y sintonizadores:
En los aparatos de radio, de televisión (TV), teléfonos, detectores de metales y otros sistemas de alta frecuencia, se utilizan capacitores en la implementación de "filtros pasabanda", para dejar pasar solo un estrecho rango de frecuencias. Capacitores fijos y variables puestos en paralelo (en "tandem") forman parte de los circuitos "tanque" de sintonización de emisoras, conectados generalmente en paralelo con bobinas o con transformadores de RF.

Para ajustes finos de frecuencias en equipos de comunicaciones se requieren capacitores variables de capacitancia relativamente pequeña (menor que 1 nF) en los que las variaciones de capacitancia puedan ser mucho menores aún (1-100 pF). Para esto existen capacitores denominados trimmers de hasta 50 pF que son 2 láminas metálicas, separadas por una lámina aislante muy delgada (de mica, mylar o teflon), con un tornillo de ajuste para regular la distancia de separación de las láminas (y por lo tanto, poder ajustar la capacitancia con cierta resolución). Para capacitancias relativamente mayores, existen padders que son similares a los trimmers, pero de mayor tamaño y con capacitancias en el rango 50-250 pF.

En la Figura siguiente se muestra un elemento capacitivo de sintonía. El encapsulado plástico (de unos 2 x 2 x 1 cm3 aprox.) contiene 2 capacitores variables en tandem, formados por láminas metálicas que giran introduciéndose alternadamente unas en otras. Se observan las ranuras de los tornillos de ajuste de 2 trimmers. En la cara que no se ve en la Figura, está el eje central donde se atornilla el "dial", que es una rueda numerada con las frecuencias de las emisoras.


Fig. 2: Elemento capacitivo de sintonía de un receptor superheterodino AM de bolsillo.


Por el contrario, en los "filtros de rechazo de banda" (o filtros "notch"), los capacitores se usan para eliminar un estrecho rango de frecuencias.

Elementos reactivos como capacitores y bobinas producen desfases entre corriente y voltaje. Los capacitores permiten que la corriente se adelante al voltaje (ángulo de fase negativo) y las bobinas atrasan la corriente (ángulo de fase positivo). Los filtros pasabanda y rechazo de banda determinan una frecuencia particular denominada frecuencia de resonancia, donde el efecto del capacitor sobre la corriente se compensa exactamente con el efecto de la bobina, haciendo que la señal que posea esa frecuencia (y las cercanas) pueda pasar con menor reactancia en el filtro pasabanda, o por el contrario, que esa señal se pierda con mayor facilidad en el filtro notch.

2.5 Filtros de frecuencia de línea:
Los filtros notch también se utilizan para eliminar múltiplos de la frecuencia de la red eléctrica que puedan interferir con un dado equipo. Por ejemplo, si la red es de 50 Hz, según el equipo puede haber filtros notch implementados con capacitores para eliminar "ruido" de frecuencia 50, 100, 150 y 200 Hz.

2.6 Protectores de componentes electrónicos, bobinas y contactos de relays:
En circuitos inductivos (donde haya bobinas) los capacitores funcionan como supresores ("snubbers") de transitorios. Conectados en paralelo sirven para absorber la energía de la sobretensión inducida, ya que hacen que el transitorio de corriente evolucione más lentamente (y por lo tanto que el voltaje inducido sea menor), evitando que un contacto eléctrico se funda y se perfore, o protegiendo componentes pasivos (como bobinas, transformadores y motores), o evitando quemar componentes activos (como transistores, tiristores y triacs).

Esto se puede ver matemáticamente con un poco de cálculo diferencial. En una bobina, el flujo magnético Φ creado por la corriente I(t) que circula en sus espiras en cada instante t, se puede considerar función de t o de I. Utilizando la Ley de Inducción Electromagnética de Faraday-Lenz, donde el voltaje inducido ε(t) en una bobina en el instante t es -menos- la rapidez de la variación del flujo magnético Φ(t) en el circuito que esté entre esos terminales (con el lapso Δt tendiendo a cero: Δt → 0 s):

ε(t) = - ΔΦ(t)/Δtt → 0 s)

y utilizando la definición de la autoinductancia L (en "H", "henry" o "henrios") donde el cambio ΔI en la corriente tiende a cero:

L ≡ ΔΦ(I)/ΔII → 0 A)

se tiene que (usando la regla de derivación de una composición de funciones o "regla de la cadena", para Δt → 0 s)

ε(t) = - ΔΦt = - (ΔΦI) (ΔIt) = - LIt)

Para una dada bobina, L es una constante. Esto significa que la interrupción o conexión muy rápida o repentina de la corriente (es decir ΔIt muy grande) de un circuito inductivo (generalmente con bobinas o motores donde L es muy grande), produce un transitorio de voltaje ε inducido muy alto, que generalmente supera los 3kV/mm (ruptura del aire), y por lo tanto produce chispas. Esto pasa en los contactos de interruptores y en algunos componentes electrónicos que pueden dañarse por esta sobretensión.

2.7 Multiplicadores de Voltaje:
Conectando diodos rectificadores y capacitores, se pueden implementar configuraciones de alto voltaje que cargan los capacitores en los semiciclos AC, aumentando el voltaje entre dos puntos dados del circuito. Se utilizan en fuentes de alto voltaje (como por ej. las fuentes de televisores y de ozonizadores de aire en hospitales y de agua en piscinas).


Fig. 3: Diagramas esquemáticos de un duplicador de voltaje y de un multiplicador de voltaje extendible, a partir de una fuente de voltaje AC Vi(t) de amplitud VM, capacitores y diodos rectificadores. En el segundo circuito, cada capacitor queda cargado con VM y, donde se unen el diodo y el capacitor n-ésimos, se tiene el voltaje de salida Vo(n) = nVM.


2.8 Acumuladores (digitales y analógicos) de información:
junto con la gran familia de "FET´s" (Field Effect Transistors, transistores de efecto de campo), los capacitores se utilizan en referencias de voltaje, dentro de "chips" de memorias y en circuitos lógicos.

2.9 Constantes de tiempo y acoplamientos:
Los capacitores sirven para producir constantes de tiempo (del tipo τ = RC o equivalentes) en temporizadores, alarmas, sirenas, atenuadores de luz ("dimmers") y convertidores portátiles de voltaje.

Los capacitores también sirven para acoplar circuitos lógicos, etapas de amplificadores y sondas con instrumentos (como osciloscopios).

2.10 Integradores y derivadores RC:
Las constantes de tiempo RC también se utilizan para hacer que un capacitor en paralelo (como en una configuración pasa bajos) se comporte como un integrador de los voltajes con frecuencias superiores a la frecuencia de corte f-3dB del filtro.

Por el contrario, un capacitor en serie (como en una configuración pasa altos) se comporta como un derivador de los voltajes con frecuencias inferiores a la frecuencia de corte f-3dB del filtro.


Fig. 4: Filtro pasa-bajos funcionando como integrador y filtro pasa-altos funcionando como derivador. Diagrama esquemático de cada circuito, Diagrama de Bode de la ganancia G en decibel (dB) de cada filtro, y deducción de su funcionamiento como integrador y como derivador respectivamente.


Por ejemplo, cuando se busca medir la intensidad B(t) del campo magnético alterno (de frecuencia f) producido por un bobinado AC, se puede usar un integrador (formado simplemente por una resistencia y un capacitor tales que la frecuencia f sea mucho mayor que frecuencia de corte f-3dB del filtro RC pasabajos). Como el voltaje ε(t) inducido en los extremos del bobinado es proporcional a la derivada del flujo magnético Φ, este voltaje se aplica al integrador, y de este modo la señal de salida resulta proporcional a Φ(t) y por lo tanto, también proporcional a B(t).

2.11 Selectores o conmutadores táctiles:
En selectores de pisos en ascensores, teclado en cajeros, y en dispositivos como las ruedas táctiles de los iPod´s, los capacitores sirven como interruptores electrostáticos, en lugar de los clásicos "botones" electromecánicos que actúan por presión mediante piezas móviles.

2.12 Desfasadores de línea (Corrección del "factor de potencia"):
En un circuito AC (de corriente alterna de 50 ó de 60 Hz) hay que distinguir entre dos potencias:
Potencia media que se calcula como la media de la potencia instantánea P(t) en un período, y que representa la potencia realmente utilizada por la maquinaria, que suele especificarse en watt (W); y
Potencia aparente que es el producto de los valores eficaces (RMS, root mean square) de la corriente y el voltaje:

PapIrmsVrms

que es la cantidad que se cobra, usualmente especificada en "volt-ampere" (VA). La diferencia entre esta potencia y la media siempre se puede expresar mediante:

Pav(en W) = Pap(en VA) cos φ

donde el ángulo de fase φ es el argumento de la impedancia compleja total del circuito:

Z = Z e = Z (cosφ + j sinφ)

siendo j la unidad imaginaria (j2 = -1). Las industrias suelen tener maquinarias con motores e iluminación con tubos fluorescentes de corriente alterna (de 50 ó de 60 Hz). Esto hace que la instalación eléctrica sea un circuito fuertemente inductivo (φ grande), lo que ocasiona una gran diferencia entre la Pap que se les cobra y la Pav que se utiliza. Por eso, en algún sitio de estos establecimientos industriales, se encuentran conectados y refrigerados "bancos de capacitores" que mejoran el factor de potencia "cos φ" ("coseno fi").

La capacidad que se puede agregar a la instalación (para disminuir la fase φ) no es arbitraria. El factor de potencia está limitado legalmente, ya que el exceso de capacitores en la red podría ocasionar transitorios de corrientes muy altos durante la puesta en marcha de la industria, haciendo "saltar" la red eléctrica de una parte de la ciudad durante la sobrecarga.

2.13 Sensores y Transductores:
Como transductores entre ondas acústicas y eléctricas, elementos capacitivos se usan como emisores y como receptores de ecógrafos en medicina y de sonares en biología marina.
En audio se usan en los antiguos fonocaptores ("cápsulas de cristal y cerámicas"), en micrófonos cerámicos y en altavoces de agudos ("tweeters").
También se usan con piezoeléctricos en micro-manipuladores de microscopios y en cubas de limpieza por ultrasonido.

Como sensores se utilizan en varios tipos de medidores, como por ejemplo de presión, tensión y aceleración. También se usan en sistemas microelectromecánicos (MEMs, MicroElectroMechanical Systems) con dispositivos cuyo tamaño es del orden de 0.01 mm.



3-DE QUÉ ESTÁ HECHO

Un capacitor está construido con dos electrodos, placas o "armaduras" metálicas muy próximas, separadas por un aislante denominado "dieléctrico", que puede ser el aire, un líquido, aceite, pasta, papel con parafina o cera, o un sólido rígido.

Los capacitores "electrolíticos" tienen polaridad, es decir, un terminal (indicado como "-") debe estar siempre a igual o menor potencial que el otro terminal (correspondiente a "+"). En estos capacitores, el dieléctrico es generalmente un electrolito líquido viscoso o una pasta salina. Se usan para tener mayor capacitancia.

Los dieléctricos sólidos rígidos pueden ser de materiales cerámicos como por ejemplo mica, vidrio, compuestos de tantalio, porcelana, o bien de polímeros como poliester (mylar), poliestireno, policarbonato, polipropileno o teflon.

Para lograr mayores capacitancias, debe aumentar la inducción electrostática, ya sea por aumento de superficie y/o proximidad de las superficies de las placas. Para esto se hacen condensadores tubulares o enrollados de diferentes formas, con más de una lámina en cada electrodo. También se usan los electrolíticos, y otros sin polaridad pero con dieléctricos cerámicos ferroeléctricos de altísima constante dieléctrica.

Existen los "super-capacitores", desarrollados en las últimas dos décadas, utilizando materiales porosos y nanoestructurados con los que se consiguen capacitancias miles de veces superiores. Pero este artículo no se refiere a aspectos específicos de este nuevo tipo, sino a conceptos generales a todos los capacitores.

El tamaño del capacitor depende principalmente de tres parámetros: de la capacidad C, del voltaje máximo (ΔV)max, y de la constante dieléctrica ke del dieléctrico (Fabricando capacitores con materiales dieléctricos de altos valores de ke se reduce el tamaño). En particular, en computación y sistemas digitales portátiles o miniaturizados (memorias, pendrives, MP3, etc.) se usan cerámicas avanzadas ferroeléctricas de altísimas constantes dieléctricas.

La siguiente Figura muestra 2 capacitores electrolíticos de 25 V. El capacitor grande de color naranja suele pedirse en las casas de electrónica como "capacitor electrolítico de 5000x25" y el pequeño celeste como "capacitor electrolítico de 47x25". En éste último se observa el signo "-" que señala al electrodo que debe estar a menor potencial. Aunque pueden tener diferente tipo de dieléctrico, la diferencia de tamaño en este ejemplo se debe principalmente a que el grande tiene una capacitancia aproximadamente 100 veces superior.


Fig. 5: Dos capacitores electrolíticos típicos, ambos para un voltaje máximo de 25 V: el grande (color naranja) de 5000 μF y el pequeño (celeste) de 47 μF.


La Figura siguiente muestra dos capacitores de similar capacitancia, pero el naranja ("5000x25") es de 25 V y el celeste ("4700x50") de 50 V. Si tuvieran el mismo dieléctrico el celeste debería ser visiblemente mayor que el capacitor naranja de 25 V. Este ejemplo muestra que seguramente el electrolito del capacitor de menor tamaño tiene mayor ruptura dieléctrica y tal vez también mayor constante dieléctrica. En este último además del signo "-" también se observa que el rango de temperatura de trabajo es de -40 a 85 °C.

Fig. 6: Dos capacitores electrolíticos de similar capacidad (5000 y 4700 μF), donde el de mayor tamaño (color naranja) es el de menor voltaje máximo (25 V contra 50 V del de menor tamaño).


La Figura siguiente muestra 3 capacitores electrolíticos de 1000 μF. Los azules son "1000x63", tienen indicada la temperatura máxima de operación (85 °C) y un código "M" para indicar un 20% de tolerancia en el valor de la capacidad. El naranja es un "1000x16", que tiene indicado el electrodo "+" (en vez de lo más común, que es indicar el "-"). Este capacitor tiene explícitamente indicada una tolerancia del 20% (pero no se observa en la fotografía).
Este ejemplo donde la capacidad y el tamaño de condensadores de 16 y 63 V son similares, muestra que el dieléctrico de los azules seguramente tiene una mucho mayor ruptura dieléctrica.

Fig. 7: 3 capacitores electrolíticos de 1000 μF (20%), uno (naranja) de 16 V y dos (azules) de 63 V.


En la Figura siguiente se muestran dos capacitores no-electrolíticos y no polarizados. El de color naranja indica explícitamente la capacidad nominal y el voltaje máximo: ".047 μF 600V". Si no hay ninguna letra más, hay que asumir que la tolerancia en la capacidad es del 20% (M), es decir, C puede estar entre 0.038 y 0.056 μF aproximadamente.

Fig. 8: Dos capacitores no polarizados, no electrolíticos. Uno (color naranja) de 0.047 μF (con un 20% de tolerancia) x 600 V, y el otro (verde) es de 0.033 μF (10%) x 1000 V.

En el otro capacitor (encapsulado verde) se indica "2A333K". La "K" significa que la tolerancia en la capacidad es 10%, el "2A" es un número de fabricación, y la capacidad está indicada en el "333" en picofarad, donde el último dígito es la cantidad de ceros, es decir

Cnominal = 33000 pF ≡ 33 nF ≡ 0.033 μF

La omisión del voltaje máximo indica que es 1 kV (En los capacitores electrolíticos, los voltajes de ruptura son mucho menores y por lo tanto siempre aparece claramente advertido el máximo voltaje que puede soportar).

La forma usada en este último ejemplo ("333" para indicar 33000 pF), es el modo más común de indicar la capacidad de los capacitores de menos de 1 μF. Parece extraño pero trabajando con capacitores, uno se da cuenta que no tiene ambigüedad y se acostumbra rápidamente.



4-CÓMO FUNCIONA

4.1 Porqué se carga un capacitor (Descripción cualitativa):
Para ver cómo funciona un capacitor, primero hay que ver por qué se carga. Y para esto, hay que tener presente que los conductores tienen ciertas características particulares, que en este contexto se pueden resumir como sigue:

(a) Los conductores (en general metales puros o aleaciones) son materiales con electrones libres, lo que significa que bajo la presencia de un campo eléctrico, estas cargas negativas pueden trasladarse con cierta facilidad, y pueden hacerlo macroscópicamente en todo el material.

(b) En el interior de un conductor en equilibrio electrostático, no puede haber campo eléctrico neto (pues sino, las cargas se acelerarían y no habría equilibrio). Entonces,

Einterior = 0 V/m (Interior de un conductor en condiciones electrostáticas)

(c) Por lo anterior, cualquier zona del conductor con exceso o defecto de cargas (o sea, en un conductor cargado y/o bajo inducción eléctrostática), este exceso debe estar en las superficies exteriores y/o interiores del conductor (Esto se demuestra formalmente con el Teorema de Gauss, derivado de una de las 4 Ecuaciones de Maxwell, o Leyes Fundamentales del Electromagnetismo).

A partir de estas observaciones, se puede explicar porqué se carga el capacitor. Consideremos (para fijar ideas) un capacitor formado por dos placas paralelas de superficie A en cada cara, y separadas una pequeña distancia d. El capacitor se encuentra inicialmente descargado y entonces se lo conecta a una fuente de voltaje ΔV a través de un resistor de resistencia eléctrica R.

Debido al voltaje de la fuente, dentro del conductor que une las placas a través de la fuente y el resistor, se crea un vector campo eléctrico E que se dirige hacia la placa "+" (que es la placa conectada al borne positivo "+" de la fuente). Este campo es atractivo para cargas negativas y repulsivo para cargas positivas.

Entonces, el campo eléctrico dentro del conductor induce una fuerza atractiva sobre los electrones libres de la placa "+". Debido a esa fuerza, algunos electrones libres abandonan la cara interna "+", dejando el equivalente a una carga Q > 0 C, depositada en la cara interna de la placa "+" (en las partes interiores de placas y de alambres no puede haber carga neta).

El mismo campo E que dentro del material en el lado "+" del circuito induce una fuerza atractiva, del otro lado, en el lado "-", induce una fuerza repulsiva sobre los electrones libres que van pasando a través de la fuente. Esto hace que la carga -Q de electrones que migraron desde la armadura "+" se aloje en la cara interior de la placa "-".

De este modo, se tienen cargas opuestas sobre las superficies internas (enfrentadas) de las placas del condensador, con un campo eléctrico que va desde "+" hacia "-". Las cargas no pueden saltar de una placa a la otra debido a la existencia del dieléctrico (que es un material aislante).

Esta redistribución de cargas fue inducida por campo eléctrico. El proceso de inducción eléctrica se detuvo cuando el campo creado por esta distribución de cargas compensa al campo debido a la fuente externa (es decir, cuando el voltaje de la fuente es exactamente el voltaje en el capacitor). Entonces cesa la corriente i de cargas, y sobre el resistor ya no hay diferencia de potencial. Cuando no hay más movimiento de cargas (i = 0 A), ha terminado la carga del capacitor.

Finalmente hay que destacar que debido a la resistencia R de los conductores entre la fuente de voltaje y las placas del capacitor, para cargarlo moviendo las cargas negativas desde una placa hasta la otra, la fuente tuvo que realizar un trabajo, gastando energía (generalmente electroquímica) que tuvo que tomar de su interior, convirtiéndola en energía eléctrica, que se disipa en R a un ritmo dado por la Ley de Joule (i2R).


4.2 Conservación de la carga eléctrica (en la carga y en la descarga de un capacitor):
En la Naturaleza se observa que hay ciertas leyes de conservación que deben cumplirse en los procesos físicos. Por ejemplo, la carga eléctrica no puede crearse ni desaparecer, es decir, existe un Principio de conservación de la carga eléctrica, que durante la carga y descarga de los capacitores también se debe cumplir.
Supongamos que tenemos un capacitor cargado con carga Q y que juntamos los terminales (o sea, que lo "cortocircuitamos"). Vemos una chispa y posteriormente el capacitor queda descargado. ¿Qué sucedió con la conservación de la carga eléctrica?

Este problema se responde viendo cómo funciona un capacitor. Las placas metálicas del capacitor inicialmente son neutras, es decir, no hay ni exceso ni defecto de electrones libres. Por lo tanto, en cada armadura se tiene 0 coulomb, y entonces, la carga eléctrica del conjunto de placas, es también 0 C (i.e., el capacitor está descargado).

Pero cuando se dice que el capacitor fue cargado y que tiene carga Q, significa que una placa tiene tiene un exceso de carga Q y a la otra le falta exactamente esa carga, o sea que la otra placa tiene una carga -Q. Por lo tanto, la carga neta y total en las dos armaduras del capacitor cargado, o cargándose, o descargándose nunca dejó de ser cero coulomb.

Es decir, la energía potencial eléctrica acumulada en un capacitor cargado no se debe a la carga neta total (la que sigue siendo 0 C), sino que la energía corresponde a la separación de cargas, electrones que se fueron de una armadura y que están en la otra, produciendo un campo eléctrico en una cierta región del espacio. En esa distribución de campo eléctrico está la energía potencial electrostática.


4.3 Capacidad de un condensador "ideal" de placas paralelas:
Consideremos un capacitor formado por dos placas paralelas de superficie A en cada cara, y separadas una pequeña distancia d, tal que cada lado sea mucho mayor que la separación (A1/2 >> d). En este caso, para simplificar el análisis se desprecian los efectos de borde, y por lo tanto el campo eléctrico se asumirá uniforme en el interior, entre las placas. A este capacitor se le denomina "ideal" de placas planas paralelas.

Consideremos al capacitor cargado, conectado a una fuente de voltaje V0. Es decir, la diferencia de potencial ΔV en los terminales del capacitor es:

ΔV = V0 = constante

La relación entre el voltaje en las placas y la intensidad E0 del vector campo eléctrico E0 (uniforme) entre las placas del capacitor es:

ΔV = E0 d

Usando el Teorema de Gauss con una superficie que encierre una placa, se deduce que la carga en cada armadura se relaciona con la intensidad del campo eléctrico en el interior del capacitor según

Q0 = ε0 E0 A

donde la constante eléctrica universal (cuyo valor es muy similar a que haya aire como dieléctrico entre las placas) es:

ε0 ≡ 8.854 187 817... x 10-12 F m-1

Si esta relación la dividimos por la anterior, resulta la capacidad del capacitor ideal de placas planas paralelas

C0 = Q0V = ε0 A/d = constante


Fig. 9: Deducción de la capacidad de un capacitor ideal de placas planas paralelas.

Es importante observar que esta relación es una constante que no depende del voltaje de la fuente.


4.4 Efecto del dieléctrico (Descripción cualitativa):
Al agregar un dieléctrico, siempre hay aumento de la capacidad. Para verlo hay que considerar que el material del dieléctrico se polariza generando un campo eléctrico que se opone al campo eléctrico exterior. Por lo tanto, si se mantiene al condensador aislado (carga Q0 constante), al agregar el dieléctrico, el campo en el interior del condensador, y el voltaje en los terminales, disminuyen.

Pero por otro lado hay que ver que si se mantiene constante al voltaje V0 aplicado sobre el capacitor, el campo en el interior no cambia (haya o no dieléctrico). Por lo tanto, para que el campo en el interior sea el mismo cuando existe el dieléctrico, debe haber una cantidad mayor de carga Q en las placas, que compense la tendencia del material a disminuir el campo. Entonces, la capacitancia del capacitor es mayor cuando tiene dieléctrico (C0 < C).


4.5 Efecto del dieléctrico (cuantitativamente):
La relación más general del capacitor ideal con dieléctrico se obtiene usando el vector desplazamiento eléctrico D en el Teorema de Gauss generalizado, para un dieléctrico lineal e isótropo donde D = εE0. En este caso

Q = ε E0 A = ke ε0 E0 A = ke Q0

Por otro lado, como sigue siendo ΔV = V0 = constante, se tiene

ΔV = E0 d

Entonces, dividiendo estas últimas expresiones se tiene la capacidad eléctrica del capacitor ideal de placas planas paralelas con dieléctrico de constante dieléctrica keε/ε0:

C = QV = ε A/d = ke C0


Fig. 10: Deducción de la capacidad de un capacitor ideal de placas planas paralelas, con dieléctrico.


Por lo tanto si se comparan 2 capacitores ideales de placas paralelas, idénticos, inicialmente ambos con aire ("sin dieléctrico") y posteriormente a uno de ellos se le coloca un dieléctrico, se tiene que:

a) La capacidad eléctrica aumenta en el que tiene dieléctrico exactamente en un factor dado por la constante dieléctrica:

C = C0 ke

donde C0 es la capacitancia en el capacitor ideal sin dieléctrico.


b) Si se cargan con el mismo voltaje V, la intensidad E del campo eléctrico E en el interior del dieléctrico también resulta igual en ambos, pero la carga aumenta en el que tiene dieléctrico exactamente en un factor dado por la constante dieléctrica:

Q = Q0 ke

donde Q0 es la carga en el capacitor ideal sin dieléctrico.

c) Si se cargan con la misma carga electrostática Q, la intensidad E del campo eléctrico E en el interior del dieléctrico, decrece exactamente en un factor dado por la constante dieléctrica:

E = E0/ke

donde E0 es la intensidad del campo en el capacitor ideal sin dieléctrico. Por lo tanto, lo mismo sucede con el voltaje:

V = V0/ke

En general, para un capacitor que no sea ideal y/o que no sea de placas planas paralelas, el efecto del dieléctrico se puede resumir como sigue:

(1) El dieléctrico siempre aumenta la capacidad eléctrica en un factor relacionado con ke;
(2) Para un mismo voltaje, el dieléctrico aumenta la carga en el mismo factor; y
(3) Para una misma cantidad de carga acumulada, el dieléctrico disminuye la intensidad de campo eléctrico en el interior del dieléctrico (y disminuye el voltaje sobre el capacitor) en un factor relacionado con 1/ke.


4.6 Capacitores conectados en paralelo entre sí:
La capacidad de acumular carga se debe al fenómeno de inducción electrostática entre conductores. Por lo tanto, aumentar el área de proximidad entre conductores, aumenta la capacidad de inducción, y entonces la capacidad eléctrica. Esto se vio explícitamente en la expresión de la capacidad de un capacitor ideal de placas paralelas donde C = ε A/d.

Esta expresión también permite entender lo que sucede si se colocan capacitores de capacidades C1, C2, C3, ... conectados en paralelo, es decir, donde el voltaje sobre cada capacitor es igual al voltaje del conjunto, en todo instante de tiempo:

Vparalelo = V1 = V2 = V3 = ...

Es como aumentar la superficie, y por lo tanto, la carga total acumulada es la suma de las cargas individuales:

Qparalelo = CparaleloVparalelo = Q1 + Q2 + Q3 + ...

Entonces, la capacitancia equivalente del conjunto en paralelo resulta:

Cparalelo = C1 + C2 + C3 + ...



Fig. 11: capacitancia equivalente de capacitores en paralelo y de capacitores en serie.


4.7 Capacitores conectados en serie entre sí:
Debido a que la capacidad de acumular carga se debe al fenómeno de inducción electrostática entre conductores, también se ve que al aumentar la distancia d de separación de las placas entre conductores, disminuye la capacidad de inducción, y entonces disminuye la capacidad eléctrica C = ε A/d. La misma expresión también muestra lo que sucede si se colocan capacitores de capacidades C1, C2, C3, ... conectados en serie, es decir, donde los voltajes se suman:

Vserie = Qserie/Cserie = V1 + V2 + V3 + ...

Hay que observar que al estar conectados en serie, la corriente es igual en cada capacitor, y entonces, la variación de carga también debe ser la misma. Por lo tanto, todos los capacitores en serie se cargan (o descargan) en la misma cantidad en todo instante de tiempo. Por lo tanto, la carga final también será igual en cada capacitor:

Qserie = Q1 = Q2 = Q3 = ...

Entonces, reemplazando se obtiene la expresión de la capacitancia equivalente en serie:

1/Cserie = 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 + ...

o bien:

Cserie = [1/C1 + 1/C2 + 1/C3 + ...]-1


4.8 Cómo se carga un capacitor (Circuito RC-serie en régimen transiente):
Al colocar una fuente de corriente continua (DC) de voltaje VDC a través de una resistancia R, para cargar un capacitor en el instante t0 = 0 s, semicualitativamente se puede ver lo siguiente:

Desde t0, en todo instante t el voltaje de la fuente se repartirá entre la resistencia y el capacitor (Ley de voltajes de Kirchhoff):

VDC = VR(t) + VC(t) = Ri(t) + Q(t)/C

siendo la corriente i(t) igual a la variación de carga en el capacitor, que matemáticamente se puede expresar:

i(t) ≡ ΔQ(t)/Δtt → 0s)

Inicialmente, en el primer instante (t0 = 0 s), el voltaje inicial en el capacitor es VC(0s) = 0 V, correspondiendo al capacitor inicialmente descargado, es decir con carga inicial Q(0s) = 0 C. Por lo tanto, la corriente inicial está determinada por la fuente y la resistencia:

i(0s) = VDC/R

Posteriormente comienza a cargarse. Durante esta carga el voltaje sobre R disminuye, y por lo tanto disminuye del mismo modo la corriente. Esto finaliza cuando se alcanza el estado estacionario (t → ∞), con el capacitor cargado al voltaje de la fuente:

i(∞) = 0 A

VC(∞) = VDC

Q(∞) = C VC(∞) = C VDC

En Cursos de Electromagnetismo se muestra que en la carga del capacitor el tiempo está escalado por la constante de tiempo τ = RC, que el decrecimiento de esta corriente es exponencial, y que el estado estacionario en la práctica se puede considerar alcanzado con tiempos superiores a unas 5 constantes de tiempo, cuando queda menos del 1% de la corriente incial (y cuando falta menos del 1% para alcanzar el voltaje de la fuente). La misma variación exponencial se obtiene al estudiar la descarga del capacitor.


Fig. 12: Carga de un capacitor en un circuito RC-serie. Representación gráfica del voltaje del capacitor y de la corriente de carga en función del tiempo.


4.9 Conservación de la energía en la carga y en la descarga de un capacitor:
Es importante enfatizar que en la práctica, cuando comienza a cargarse un capacitor, la corriente sufre un cambio extremadamente abrupto, pasando de 0 A al valor máximo i(0s) = VDC/R. Del mismo modo, cuando se inicia la descarga, la corriente también sufre un cambio instantáneo desde 0 A al valor máximo i(0s) = VC(0s)/R.

Este cambio abrupto en la corriente genera armónicos de muy alta frecuencia para los cuales, las dimensiones típicas del circuito hacen que éste se comporte como una antena, irradiando parte de la energía en ondas electromagnéticas.

Se podría pensar que esta fracción de energía irradiada es mínima, despreciable, y que no hace falta tenerla en cuenta. Sin embargo, cuando se hace un análisis detallado, se ve claramente que esta pérdida no se puede despreciar. No considerarla conduce a resultados incorrectos.

Existe un famoso problema de carga y descarga de capacitores, que parece violar la Conservación de la Energía, justamente por no tomar en cuenta la radiación. El problema es hermoso por la riqueza de conceptos y la sencillez con la que muestra la falta de algo importante.

Supongamos que tenemos 2 capacitores, que para simplificar suponemos idénticos, de capacidad C, tales que inicialmente solo uno tiene carga eléctrica Q0 mientras que el otro se encuentra totalmente descargado (también para simplificar la exposición del problema, sin alterar los resultados ni las conclusiones). Por lo tanto, la energía potencial eléctrica acumulada en todo el sistema (formado por los 2 capacitores) es la energía que posee el único que está cargado:

U0 = (1/2) Q02/C

¿Qué sucede con la energía después que ambos capacitores se conectan en paralelo?

Para responder esto, se podría preguntar primero si los conductores tienen alguna resistencia eléctrica R o bien, si son conductores "perfectos".

Supongamos primeramente que no hay resistencia (R = 0 Ω), es decir, la conexión es ideal, con conductores perfectos. El exceso de cargas fluye de un capacitor al otro hasta que ambos quedan en equilibrio al mismo voltaje, y cargados cada uno con Q0/2 (ya que el sistema está "aislado", y por lo tanto, la carga en los capacitores se conserva). Entonces, sumando la energía acumulada en cada uno, se observa que ahora la energía total del sistema es:

U = U0/2


Fig. 13: Problema de la energía perdida en los dos capacitores. Se muestra que la energía final es la mitad de la incial, y que esa diferencia sería la disipada por la resistencia R de los cables, en caso de ser resistivos.


Pero ... ¿dónde fue a parar la otra mitad de la energía inicial? !!!

Hay que enfatizar que para obtener este resultado solo se ha utilizado la conservación de la carga eléctrica (haya o no resistencia en los conductores).

La energía U0/2 perdida sugiere que a nuestras ecuaciones las falta algo (y tal vez ese algo también les falte cuando consideramos resistencia en las conexiones).

La pista que doy en el Curso de Electromagnetismo es: "¡ Haga el experimento al lado de una radio encendida !". De ese modo uno observa experimentalmente que haya o no resistencia, siempre hay pérdida de energía por radiación.

Es sorprendente que muchos libros de Electromagnetismo que tratan con corriente alterna, no aclaren muy bien que se trata de una teoría desarrollada para circuitos donde las corrientes varían lentamente. En efecto, la expresión de la Ley de voltajes de Kirchhoff:

VDC = VR(t) + VC(t) = Ri(t) + Q(t)/C

describe correctamente la evolución del sistema para cualquier instante t, excepto para el inicial, donde la energía en el circuito no se conserva.

Considerando un resistor R entre ambos capacitores, las ecuaciones muestran que exactamente la mitad de la energía inicial se disipa en forma de calor en la resistencia. Sin embargo, en la radio seguimos escuchando el típico "chick" cuando accionamos el interruptor iniciando la carga o iniciando la descarga. Esto nos indica que no toda la energía U0/2 perdida se disipó como calor.

Otra cosa importante para discutir es ... ¿cómo se comporta el sistema cuando se van equilibrando las cargas: como capacitores en serie, o como capacitores en paralelo? La respuesta parece obvia cuando R = 0 Ω, pues parecen estar conectados en paralelo. ¡Pero no! Piénsenlo cuidadosamente ... (En el Curso de Electromagnetismo mostramos que la corriente que equilibra al sistema evoluciona con una constante de tiempo RC/2 que corresponde a una conexión en serie, y no con 2RC, que sería la constante de tiempo con 2 capacitancias C iguales en paralelo).



5-MISCELÁNEAS

La invención del capacitor en los comienzos de la Edad de la Electricidad

Tratando de aislar la electricidad, el jurista, sacerdote luterano y físico alemán Ewald Georg (o Jürgen) von Kleist (1700-1748) descubrió en 1745 que una jarra con agua y un conductor central acumulaba carga eléctrica. von Kleist estudió leyes en la Universidad de Leipzig (Alemania) y en la más antigua universidad holandesa, la Universidad de Leiden ("Leyden", fundada en 1575). Es posible que von Kleist se haya interesado por estudiar la electricidad en Leiden bajo la influencia del filósofo y matemático holandés Willem Jacob's Gravesande.

¿Por qué esto fue tan importante? Como en otros campos de investigación científica, para avanzar en el estudio de la Electricidad, a mediados del Siglo XVIII hacía falta poder realizar 3 cosas fundamentales con las cargas eléctricas:
1) generarlas de forma continua y controlada,
2) acumularlas en forma confiable, y
3) cuantificarlas (i.e., medir el tipo y la cantidad).
El primer electroscopio (para medir cantidad de carga electrostática) fue inventado cerca del año 1600 por el médico y científico inglés William Gilbert (1544-1603). El primer generador electrostático (con una esfera giratoria de azufre) fue inventado cerca de 1663 por el político, inventor y científico alemán Otto von Guericke (1602-1686) (quien también realizó importantes estudios sobre la física del vacío y el famoso experimento de los Hemisferios de Magdeburg tirados por caballos). Faltaba el invento necesario para la segunda: almacenar carga eléctrica. Por eso fue tan importante el descubrimiento de von Kleist.
(Nota: Los experimentos con corriente se harían mucho más tarde. Tendrían que esperar a que el físico italiano Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta (1745-1827) inventara la primera pila eléctrica en 1800).

Al año siguiente (1746), el científico holandés Pieter van Musschenbroek (1692-1761), quien había sido estudiante de Gravesande, reinventó la jarra de von Kleist en Leiden. Este instrumento, denominado Leyden Jar ("botella de Leiden"), fue el precursor del capacitor.

Entre 1747 y 1756 el magistrado y físico polaco Daniel Gralath (1708-1767) publicó en Alemania "Historia de la Electricidad" en 3 tomos. Gralath mejoró el diseño de la botella de Leiden y demostró sus efectos en cadenas de personas. Fue el primero en inventar el concepto de "acumuladores en serie", usando "baterías" de botellas de Leiden.

Entonces en Europa, donde se estaban desarrollando la Electricidad y el Magnetismo, ya se habían inventado los primeros elementos necesarios para el desarrollo de la Electrostática: El generador electrostático, la botella de Leiden y el electroscopio. Pero curiosamente, el pararayos (primera invención y aplicación práctica de la Electricidad y el Magnetismo, después de la brújula), y las siguientes 3 importantes observaciones para la comprensión del funcionamiento del capacitor y de la Electrostática en general:
1) que la carga eléctrica no se acumula en el agua de la botella de Leiden,
2) que las descargas se producen más violentamente en las puntas agudas, y
3) que en cada proceso la carga eléctrica se conserva,
no fueron realizadas en Europa sino en Philadelphia (U.S.A.).

El estadounidense Benjamin Franklin (1706-1790), además de ser un gran estadista, fue un inventor y científico notable. Entre otras cosas, trabajó en el enfriamiento por evaporación y en la conducción del calor. Franklin observó que las tormentas no siempre siguen la dirección del viento que se mide en tierra (algo nuevo para la Meteorología de la época). Junto con el matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783), Franklin fue uno de los pocos científicos importantes que defendió la Teoría Ondulatoria de la Luz, que el científico holandés Christiaan Huygens (1629-1695) postuló en 1678 en "Treatise on light", y que en general, la comunidad científica no tomó en cuenta hasta que el científico y egiptólogo británico Thomas Young (1773-1829) publicó sus experimentos ("Experiments and Calculations Relative to Physical Optics") en 1803.

Franklin denominó (por primera vez) "positivas" y "negativas" a las cargas de cada tipo (hasta entonces solo llamadas "vítreas" y "resinosas"), y (aunque estuvo equivocado acerca de su naturaleza cuando postuló que eran el mismo fluído pero con diferente presión), observó correctamente que las cargas no estaban en el dieléctrico de la botella, sino en las paredes del recipiente mismo. También descubrió el "efecto punta" (inventando el pararayos), postuló la conservación de la carga (una de las grandes leyes de conservación de la Naturaleza), y que los rayos entre nubes y tierra están compuestos por cargas eléctricas.

En 1750 Franklin publicó cómo se podía demostrar experimentalmente la "electricidad atmosférica", recogiendo cargas de las nubes durante alguna tormenta (a través de un "volantín", "barrilete" o "cometa"). Franklin sabía del peligro por la descarga de un rayo y también propuso una verificación alternativa donde usaba el concepto de descarga a tierra.

El francés Thomas-François Dalibard tradujo la propuesta y realizó el experimento el 10 de Mayo de 1752 en Francia. Cargó varias botellas de Leiden y obtuvo chispas de una nube, usando una barra de 12 m de hierro conectada a tierra, demostrando que su amigo estadounidense tenía razón.

Quince años más tarde, el teólogo, político, educador y científico inglés Joseph Priestley (1733-1804) describió el experimento de Franklin, cuando publicó en 1767 "History and Present Status of Electricity". Sin embargo hay desacuerdos sobre si Franklin realmente realizó el famoso experimento. Si lo hizo, tal vez fue el 15 de Junio de 1752 en Philadelphia, pero no haciendo pasar la descarga a través suyo, sino estando aislado (En el actualmente popular programa de la televisión llamado Mythbusters -"Cazadores de Mitos"- se concluyó que seguramente Franklin se habría electrocutado de haber realizado el experimento en la forma originalmente propuesta).



EQUIVALENCIAS

0 K ≡ -273.15 °C (Mínima temperatura existente, "Cero absoluto", 0 kelvin y su equivalencia en grados celsius)

e = 1.602 176 487(40) x 10-19 C (valor aceptado de la constante universal "carga elemental")

1 F ≡ 1 C / 1 V (farad equivale a coulomb / volt)

1 J ≡ 1 C x 1 V (joule equivale a coulomb x volt)

1 eV ≡ e x 1 V = 1.602 176 487(40) x 10-19 J (Es decir, un electronvolt es equivalente a la energía potencial eléctrica que adquiere una carga elemental en una diferencia de potencial de 1 volt)


REFERENCIAS

(1) Halliday D, Resnick R and Krane K S 1992 Physics, Extended Version, 4th Edition (New York: John Wiley & Sons)

(2) Horowitz P and Hill W 1990 The Art of Electronics, 2nd Edition (Cambridge: Cambridge)

(3) Schade O H 1943 "Analysis of Rectifier Operation" Proc. IRE, 31(7) 341-361
Schade Curves - Radiotron Designers Handbook, Fourth Edition 1952 pp1171-1182



CÓMO HACER REFERENCIA A ESTE ARTÍCULO

Giordano J L 2010 Cómo funcionan las cosas: El condensador eléctrico (Santiago: http://www.profísica.cl) http://www.profisica.cl/comofuncionan/como.php?id=36 (Consulta: Abril 23, 2008)

("2010" es el año de la última revisión en la fecha de consulta)



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